Bài tập 9, § 4

Cho A là một vành Noether nguyên, K là trường phân thức của nó, E là một mở rộng hữu hạn của K, và $\overline{A}$ là bao đóng nguyên của A trong E. a) Nếu A là một vành địa phương có hoàn thành $\hat{A}$, thì $(\hat{A} \otimes_A \overline{A})_{\text{red}}$ là một $\hat{A}$-đại số hữu hạn $^1$. (Rút gọn về trường hợp $K = E$. Sử dụng III, § 3, No. 4, Hệ quả 2 của Định lý 3, chứng minh rằng các phần tử khác không của A không là ước của không trong $\hat{A}_{\text{red}}$. Sau đó chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu đơn ánh $\hat{A}_{\text{red}}$-môđun của $(\hat{A} \otimes_A \overline{A})_{\text{red}}$ vào toàn bộ vành phân thức của $\hat{A}_{\text{red}}$. Kết luận.) b) Với mọi iđêan nguyên tố $p$ của A, $\kappa(p)$-đại số $(\overline{A} \otimes_A \kappa(p))_{\text{red}}$ là hữu hạn. (Rút gọn về trường hợp A là địa phương, với iđêan cực đại $p$. Khi đó nhận thấy rằng $(\overline{A} \otimes_A \kappa(p))_{\text{red}}$ là một thương của $(\overline{A} \otimes_A \hat{A})_{\text{red}} \otimes \kappa(p)$.)