Exercice 9, § 4

Soient A un anneau noethérien intègre, K son corps des fractions, E une extension finie de K, et $\overline{A}$ la fermeture intégrale de A dans E. a) Si A est un anneau local de complété $\hat{A}$, alors $(\hat{A} \otimes_A \overline{A})_{\text{red}}$ est une $\hat{A}$-algèbre finie $^1$. (Se ramener au cas où $K = E$. Utilisant III, § 3, n° 4, cor. 2 du th. 3, prouver que les éléments non nuls de A ne sont pas diviseurs de zéro dans $\hat{A}_{\text{red}}$. Prouver alors qu’il existe un $\hat{A}_{\text{red}}$-homomorphisme injectif de $(\hat{A} \otimes_A \overline{A})_{\text{red}}$ dans l’anneau total des fractions de $\hat{A}_{\text{red}}$. Conclure.) b) Pour tout idéal premier $p$ de A, la $\kappa(p)$-algèbre $(\overline{A} \otimes_A \kappa(p))_{\text{red}}$ est finie. (Se ramener au cas où A est local, d’idéal maximal $p$. Remarquer alors que $(\overline{A} \otimes_A \kappa(p))_{\text{red}}$ est un quotient de $(\overline{A} \otimes_A \hat{A})_{\text{red}} \otimes \kappa(p)$.)