Bài tập 10, § 1

Cho A là một miền đóng hoàn toàn nguyên. Chứng minh rằng với mọi tập hợp I, miền đa thức $A[X_i]_{i \in I}$ và miền chuỗi lũy thừa hình thức $A[[X_i]]_{i \in I}$ (Đại số, chương IV, § 5, Bài tập 1) là đóng hoàn toàn nguyên. (Sử dụng Mệnh đề 4 của no. 4 và bổ đề sau: với mọi tập con hữu hạn J của I và mọi $P \in A[[X_i]]_{i \in J}$, gọi $P_J$ là chuỗi lũy thừa hình thức trong $A[[X_i]]_{i \in J}$ dẫn xuất từ P bằng cách thay thế bởi 0 trong P tất cả các X, có chỉ số $i \notin J$; nếu P, Q là hai chuỗi lũy thừa hình thức sao cho $P_J$ chia được cho $Q_J$ trong $A[[X_i]]_{i \in J}$ với mọi J, thì P chia được cho Q trong $A[[X_i]]_{i \in I}$. Để ý rằng, nếu J, J' là hai tập con hữu hạn của I sao cho $J \subset J'$ và $P_{J'} = L' Q_{J'}$, và $P_{} = L Q_J$, thì L thu được từ L' bằng cách thay thế bởi 0 trong L' các X, có chỉ số $i \in J' - J$.)