Exercice 10, § 1

Soit A un anneau complètement intégralement clos. Montrer que pour tout ensemble I, l’anneau de polynômes $A[X_i]_{i \in I}$ et l’anneau de séries formelles $A[[X_i]]_{i \in I}$ (Alg., chap. IV, 5, exerc. 1) sont complètement intégralement clos. (Utiliser la prop. 14 du no 4 et le lemme suivant : pour toute partie finie J de I et tout $P \in A[[X_i]]_{i \in J}$, soit $P_J$ la série formelle de $A[[X_i]]_{i \in J}$ déduite de P en remplaçant par 0 dans P tous les $X_i$ d’indice $i \notin J$; si P, Q sont deux séries formelles telles que $P_J$ soit divisible par $Q_J$ dans $A[[X_i]]_{i \in J}$ pour tout J, alors P est divisible par Q dans $A[[X_i]]_{i \in I}$. On remarquera pour cela que si J, J’ sont deux parties finies de I telles que $J \subset J'$, et si $P_J' = L'Q_J'$, et $P_J = LQ_J$, L se déduit de L’ en remplaçant par 0 dans L’ les $X_i$ d’indice $i \in J' - J$).