Bài tập 12, § 1

Cho A là vành các hàm nguyên (với các giá trị phức) của một biến phức. Nó là một miền nguyên mà trường phân thức của nó là trường các hàm phân hình của một biến phức.

(a) Chứng minh rằng A là đóng nguyên hoàn toàn. (b) Với mọi $x \in A$, gọi $Z(x)$ là tập hợp các điểm không của $x$ (là một tập con đóng của $\mathbf{C}$, là rời rạc (và do đó đếm được) nếu $x \neq 0$). Nếu $a$ là một iđêan của A phân biệt với A và (0), chứng minh rằng các $Z(x)$ với $x \in a$ tạo thành một cơ sở lọc $\mathscr{F}_a$. (Nếu $x$ và $y$ là hai hàm nguyên không có điểm không chung, chứng minh, sử dụng Định lý Mittag-Leffler, rằng có thể viết $1/xy = u/x + v/y$, trong đó $u$ và $v$ thuộc A, và suy ra rằng $Ax + Ay = A$). Ngược lại, với mọi lọc $\mathscr{F}$ trên $\mathbf{C}$ mà một tập con đóng rời rạc của $\mathbf{C}$ thuộc về nó, tập hợp $a(\mathscr{F})$ gồm các $x \in A$ sao cho $Z(x) \in \mathscr{F}$ là một iđêan của A. Chứng minh rằng $\mathscr{F}_{a(s)} = \mathscr{F}$ với mọi lọc $\mathscr{F}$ mà một tập con đóng rời rạc của $\mathbf{C}$ thuộc về nó và $a(\mathscr{F}) \supseteq a$ với mọi iđêan $a$ của A phân biệt với A và (0). (c) Nếu $p \neq (0)$ là một iđêan nguyên tố của A, chứng minh rằng $\mathscr{F}_p$ là một siêu lọc. (Hạn chế vào trường hợp mọi tập hợp của $\mathscr{F}_p$ đều là vô hạn, chứng minh rằng, nếu $M \in \mathscr{F}_p$ là hợp của hai tập hợp vô hạn $M', M''$ không có điểm chung, thì một trong các tập hợp này thuộc về $\mathscr{F}_p$.) Ngược lại, với mọi siêu lọc $\mathscr{U}$ trên $\mathbf{C}$ mà một tập con đóng rời rạc của $\mathbf{C}$ thuộc về nó, $a(\mathscr{U})$ là một iđêan cực đại của A; suy ra điều ngược lại. (d) Gọi $\mathscr{U}$ là một siêu lọc trên $\mathbf{C}$, ảnh dưới đơn ánh chính tắc $\mathbf{Z} \to \mathbf{C}$ của một siêu lọc không tầm thường trên $\mathbf{Z}$. Chứng minh rằng tồn tại các iđêan nguyên tố không cực đại $p$ của A sao cho $\mathscr{F}_p = \mathscr{U}$. (Với mọi $x \in a(\mathscr{U})$ và mọi $n \in \mathbf{Z}$, gọi $\omega_x(n)$ là cấp của $x$ tại điểm $n$ ($\omega_x(n) = 0$ nếu $x(n) \neq 0$); xét tập hợp $p$ gồm các $x \in a(\mathscr{U})$ sao cho $\lim_n \omega_x = +\infty$.) (e) Với ký hiệu của (d), gọi m là iđêan cực đại $a(\mathscr{U})$. Chứng minh rằng miền $A_{m'}$ không đóng nguyên hoàn toàn (xét hàm phân hình $1/(\sin \pi z)$). \*