Exercice 12, § 1

Soit A l’anneau des fonctions entières (à valeurs complexes) d’une variable complexe. C’est un anneau intègre dont le corps des fractions est le corps des fonctions méromorphes d’une variable complexe.

a) Montrer que A est complètement intégralement clos.

b) Pour tout $x \in A$, soit $Z(x)$ l’ensemble des zéros de $x$ (qui est une partie fermée de $\mathbf{C}$, discrète (et par suite dénombrable) si $x \neq 0$). Si $a$ est un idéal de A distinct de A et de (0), montrer que les $Z(x)$, pour $x \in a$, forment la base d’un filtre $\mathfrak{F}_a$. (Si $x$ et $y$ sont deux fonctions entières sans zéro commun, montrer, en utilisant le th. de Mittag-Leffler, que l’on peut écrire $\frac{1}{xy} = \frac{u}{x} + \frac{\varphi}{y}$, où $u$ et $\varphi$ sont dans A, et en déduire que $Ax + Ay = A$). Inversement, pour tout filtre $\mathfrak{F}$ sur $\mathbf{C}$ auquel appartient une partie fermée et discrète de $\mathbf{C}$, l’ensemble $a(\mathfrak{F})$ des $x \in A$ pour lesquels $Z(x) \in \mathfrak{F}$ est un idéal de $A$. Montrer que l’on a $\mathfrak{F}_{a(\mathfrak{F})} = \mathfrak{F}$ pour tout filtre $\mathfrak{F}$ auquel appartient une partie fermée discrète de $\mathbf{C}$, et $a(\mathfrak{F}) \supseteq a$ pour tout idéal $a$ de $A$ distinct de $A$ et de $(0)$.

c) Si $\mathfrak{p} \neq (0)$ est un idéal premier de $A$, montrer que $\mathfrak{F}_\mathfrak{p}$ est un ultrafiltre. (En se bornant au cas où tous les ensembles de $\mathfrak{F}_\mathfrak{p}$ sont infinis, montrer que si $M \in \mathfrak{F}_\mathfrak{p}$ est réunion de deux ensembles infinis $M', M''$ sans point commun, un de ces ensembles appartient à $\mathfrak{F}_\mathfrak{p}$). Inversement, pour tout ultrafiltre $\mathscr{U}$ sur $\mathbf{C}$ auquel appartient une partie fermée discrète de $\mathbf{C}$, $a(\mathscr{U})$ est un idéal maximal de $A$; réciproque.

d) Soit $\mathscr{U}$ un ultrafiltre sur $\mathbf{C}$, image par l’injection canonique $\mathbf{Z} \to \mathbf{C}$ d’un ultrafiltre non trivial sur $\mathbf{Z}$. Montrer qu’il existe des idéaux premiers non maximaux $\mathfrak{p}$ de $A$ tels que $\mathfrak{F}_\mathfrak{p} = \mathscr{U}$. (Pour tout $x \in a(\mathscr{U})$ et tout $n \in \mathbf{Z}$, soit $\omega_x(n)$ l’ordre de $x$ au point $n$ ($\omega_x(n) = 0$ si $x(n) \neq 0$); considérer l’ensemble $\mathfrak{p}$ des $x \in a(\mathscr{U})$ tels que $\lim_{\mathscr{U}} \omega_x = +\infty$).

e) Avec les notations de d), soit $m$ l’idéal maximal $a(\mathscr{U})$. Montrer que l’anneau $A_m$ n’est pas complètement intégralement clos (considérer la fonction méromorphe $1/(\sin \pi z)$)\*