Bài tập 21, § 1

(a) Cho $K_0$ là một trường hoàn hảo có đặc số $p > 0$, $L$ là trường các hàm hữu tỉ $K_0(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$, $A'$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức $L[[Y, Z]]$, trong đó $Y$ và $Z$ là hai bất định, và $A$ là vành tích tenxơ $K[[Y, Z]] \otimes_K L$, trong đó ta viết $K = L^p \subset L$; $A$ là một vành địa phương Noether, không đầy đủ và phần đầy đủ của nó được đồng nhất với $A'$ (Chương III, § 3, Bài tập 17) và $A$ nguyên trên $A$. Gọi $c_n$ là phần tử

của $A'$. Gọi $B$ là vành con của $A'$ sinh bởi $A$ và các phần tử $c_n$ ($n \geq 0$). Nếu $C = A[c_0]$, thì $C$ là Noether và vành $B$ (không đóng nguyên) được chứa trong bao đóng nguyên của $C$ và chứa $C$; nhưng hãy chứng minh rằng $B$ không là Noether (hãy nhận xét rằng $c_n$ không thuộc iđêan của $B$ sinh bởi các $c_i$ có chỉ số $i < n$).

(b) Giả sử $p = 2$; $K_0, K$ và $L$ được dùng với cùng ý nghĩa như trong (a), lần này xét vành các chuỗi lũy thừa hình thức $A' = L[[Y, Z, T]]$ theo ba bất định, và vành con

và viết

Hãy chứng minh rằng vành $A[b]$ là Noether nhưng bao đóng nguyên của nó $B$ không là một vành Noether. (Vì $b^2 \in A$, mọi phần tử của trường phân thức của $A[b]$ đều có dạng $P + Q b$, trong đó $P$ và $Q$ là các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các $X_k$ với các hệ số trong trường phân thức của $K[[Y, Z, T]]$; đối với một phần tử như vậy là nguyên trên $A[b]$, hãy chứng minh rằng điều kiện cần và đủ là nó thuộc $A'$. Hãy chứng minh rằng $B$ được sinh bởi các phần tử và kết luận lập luận như trong (a).)