Exercice 21, § 1

a) Soient $K_0$ un corps parfait de caractéristique $p > 0$, $L$ le corps de fractions rationnelles $K_0(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$, $A'$ l’anneau de séries formelles $L[[Y, Z]]$, où $Y$ et $Z$ sont deux indéterminées, $A$ l’anneau produit tensoriel $K[[Y, Z]] \otimes_K L$, où l’on a posé $K = L^p \subset L$; $A$ est un anneau local noethérien non complet, dont le complété s’identifie à $A'$ (chap. III, § 3, exerc. 17), et $A'$ est entier sur $A$. On désigne par $c_n$ l’élément $X_n Y + X_{n+1} YZ + X_{n+2} YZ^2 + \ldots$ de $A'$. Soit $B$ le sous-anneau de $A'$ engendré par $A$ et les éléments $c_n (n \geqslant 0)$. Si $C = A[c_0]$, $C$ est noethérien, l’anneau $B$ (qui n’est pas intégralement clos) est contenu dans la clôture intégrale de $C$ et contient $C$; mais montrer que $B$ n’est pas noethérien (observer que $c_n$ n’appartient pas à l’idéal de $B$ engendré par les $c_i$ d’indice $i < n$).

b) On suppose $p = 2$; $K_0, K$ et $L$ ayant la même signification que dans a), on considère cette fois l’anneau de séries formelles $A' = L[[Y, Z, T]]$ à trois indéterminées, le sous-anneau

et l’on pose

Montrer que l’anneau $A[b]$ est noethérien, mais que sa clôture intégrale $B$ n’est pas un anneau noethérien. (Comme $b^2 \in A$, tout élément du corps des fractions de $A[b]$ est de la forme $P + Qb$, où $P$ et $Q$ sont combinaisons linéaires d’un nombre fini de $X_k$, à coefficients dans le corps des fractions de $K[[Y, Z, T]]$; pour qu’un tel élément soit entier sur $A[b]$, montrer qu’il faut et il suffit qu’il appartienne à $A'$. Montrer que $B$ est engendré par les éléments

et conclure le raisonnement comme dans a)).

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