Bài tập 11, § 2

(a) Cho $A$ là một miền địa phương nguyên đóng, $m$ là iđêan cực đại của nó, $K$ là trường phân thức của nó, $K'$ là một mở rộng Galois hữu hạn của $K$, $A'$ là bao đóng nguyên của $A$ trong $K'$, $m'$ là một iđêan cực đại của $A'$ nằm trên $m$, $B = A^z(m')$ là vành phân tích của nó và $n = m' \cap B$. Với mọi số nguyên $k > 0$, $B = A + n^k$ (lập luận như trong Mệnh đề 4). Hơn nữa tồn tại một phần tử nguyên thủy $z$ của $K^z$ (trường phân thức của $B$) sao cho $z \in n$; suy ra rằng $n \cap A[z] = mA[z]$.

(b) Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $k$, $m^kB_n \cap A = m^k$. (Nếu $x \in m^kB_n \cap A$, chú ý rằng tồn tại $t \in A[z]$ (trong đó $z$ được xác định trong (a)) sao cho $t \notin n$ và $tx \in m^kA[z]$; viết $t = t_0 + t_1z + \cdots + t_{r-1}z^{r-1}$ (trong đó $r$ là bậc $[K^z : K]$), suy ra rằng $t_0x \in m^k$ và $t_0 \notin m$.)

(c) Giả sử bây giờ rằng $K$ là một mở rộng Galois bất kỳ của $K$. Giữ cùng các ký hiệu như trên, chứng minh rằng $B = A + n^k$ và $m^kB_n \cap A = m^k$ vẫn đúng (chú ý rằng mọi phần tử của $A^z(m')$ đều được chứa trong vành phân tích của $m' \cap C$, trong đó $C$ là bao đóng nguyên của $A$ trong một mở rộng con Galois hữu hạn của $K'$).

(d) Với các giả thiết của (c), chứng minh rằng, nếu $A$ là Noether, thì $B$ cũng là Noether. (Quan sát rằng hoàn thành Hausdorff của $B_n$ đối với tôpô $m$-adic được đồng nhất với hoàn thành $\hat{A}$ của $A$ bởi (c); nếu $\phi : B_n \to \hat{A}$ là đồng cấu chính tắc, chứng minh rằng, với mọi iđêan $a$ của $B_n$, $\phi(a\hat{A}) = a$, sử dụng sự kiện rằng trong $\hat{A}$ mọi iđêan đều sinh hữu hạn và do đó $a\hat{A}$ được sinh bởi một số hữu hạn phần tử của $a$ và vì vậy rút gọn nó về trường hợp $K'$ là một mở rộng hữu hạn của $K$.)