Exercice 11, § 2

a) Soient $A$ un anneau local intégralement clos, $m$ son idéal maximal, $K$ son corps des fractions, $K'$ une extension galoisienne de $K$, de degré fini, $A'$ la fermeture intégrale de $A$ dans $K'$, $m'$ un idéal maximal de $A'$ au-dessus de $m$, $B = A^Z(m')$ son anneau de décomposition, $n = m' \cap B$. Pour tout entier $k > 0$, on a $B = A + n^k$ (raisonner comme dans la prop. 4). Il existe en outre un élément primitif $z$ de $K^Z$ (corps des fractions de $B$) tel que $z \in n$; en déduire que $n \cap A[z] = mA[z]$.

b) Montrer que pour tout entier $k$, on a $m^kB_n \cap A = m^k$. (Si $x \in m^kB_n \cap A$, remarquer qu’il existe $t \in A[z]$ (où $z$ est défini dans a)) tel que $t \in n$ et $tx \in m^kA[z]$; écrivant $t = t_0 + t_1z + \cdots + t_{r-1}z^{r-1}$ (où $r$ est le degré $[K^Z : K]$), en déduire que $t_0x \in m^k$ et $t_0 \notin m$.

c) On suppose maintenant que $K'$ est une extension galoisienne quelconque de $K$. Gardant les mêmes notations que ci-dessus, montrer que l’on a encore $B = A + n^k$ et $m^kB_n \cap A = m^k$ (remarquer que tout élément de $A^Z(m')$ est contenu dans l’anneau de décomposition de $m' \cap C$, où $C$ est la fermeture intégrale de $A$ dans une sous-extension galoisienne de degré fini de $K'$).

d) Sous les hypothèses de c), montrer que si $A$ est noethérien, il en est de même de $B_n$. (Observer que le séparé complété de $B_n$ pour la topologie $m$-adique s’identifie au complété $\hat{A}$ de $A$ d’après c); si $\varphi : B_n \to \hat{A}$ est l’homomorphisme canonique, montrer que pour tout idéal $a$ de $B_n$ on a $\overline{\varphi}(a\hat{A}) = a$, en utilisant le fait que dans $\hat{A}$ tout idéal est de type fini, donc que $a\hat{A}$ est engendré par un nombre fini d’éléments de $a$, et se ramener ainsi au cas où $K'$ est une extension de degré fini de $K$).