Bài tập 14, § 2

(a) Cho $A$ là một vành con của trường $K$ và $x$ là một phần tử $\neq 0$ của $K$. Chứng minh rằng, nếu $x$ không nguyên trên $A$, thì tồn tại một iđêan cực đại của $A[x^{-1}]$ chứa $x^{-1}$ và rằng, đối với mọi iđêan cực đại $m$ của $A[x^{-1}]$ chứa $x$, iđêan $A \cap m$ là cực đại trong $A$ (lưu ý rằng $x$ không thuộc vành $A[x^{-1}]$).

(b) Cho $A$ là một miền nguyên địa phương, $m$ là iđêan cực đại của nó, $K$ là một trường chứa $A$ và $k$ là trường thặng dư của $A$. Cho $x \in K$ sao cho $x \notin A$ và giả sử rằng $A$ đóng nguyên trong vành $A[x]$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu đại số $A[x] \to k[X]$ mở rộng đồng cấu chính tắc $A \to k$ và biến $x$ thành $X$. (Cần phải chứng minh rằng, nếu $\sum_{i=0}^n a_i x^i = 0$, trong đó $a_i \in A$ với mọi $i$, thì mọi $a_i$ đều thuộc $m$. Nếu không sẽ có một quan hệ $a_n x^{n-p} + \ldots + a_p = -(a_{p+1} x^{-1} + \ldots + a_0 x^{-p})$, trong đó $a_p$ là khả nghịch trong $A$; sử dụng Bài tập 5 của § 1, chứng minh rằng giá trị chung $b$ của hai vế thuộc $A$ và, sử dụng (a), chứng minh rằng tất yếu $b \in m$; kết luận rằng $x^{-1}$ sẽ nguyên trên $A$, điều này là vô lý.)

(c) Với các giả thiết của (b), chứng minh rằng iđêan $mA[x]$ của $A[x]$ là nguyên tố và không cực đại.