Exercice 14, § 2

a) Soient A un sous-anneau d’un corps K, x un élément ≠ 0 de K. Montrer que si x n’est pas entier sur A, il existe un idéal maximal de A[x⁻¹] qui contient x⁻¹ et que pour tout idéal maximal m de A[x⁻¹] contenant x⁻¹, l’idéal A ∩ m est maximal dans A (observer que x n’appartient pas à l’anneau A[x⁻¹]).

b) Soient A un anneau local intègre, m son idéal maximal, K un corps contenant A, k le corps résiduel de A. Soit x ∈ K tel que x ∉ A et x⁻¹ ∉ A et supposons que A soit intégralement fermé dans l’anneau A[x]. Montrer qu’il existe un homomorphisme A[x] → k[X] de A-algèbres qui prolonge l’homomorphisme canonique A → k et qui transforme x en X. (Il s’agit de prouver que si $\sum_{i=0}^{n} a_i x^i = 0$, où $a_i \in A$ pour tout i, alors tous les $a_i$ appartiennent à m. Sinon on aurait une relation $a_n x^{n-p} + \cdots + a_p = -(a_{p+1} x^{-1} + \cdots + a_0 x^{-p})$, où $a_p$ est inversible dans A ; utilisant l’exerc. 5 du § 1, montrer que la valeur commune b des deux membres appartient à A, et en utilisant a), montrer que l’on a nécessairement $b \in m$; en conclure que $x^{-1}$ serait entier sur A, ce qui est absurde.)

c) Sous les hypothèses de b), montrer que l’idéal mA[x] de A[x] est premier et non maximal.