Bài tập 16, § 2

Cho $A$ là một miền nguyên, $K$ là trường các phân thức của nó, $K'$ là một mở rộng hữu hạn của $K$ có bậc $n$ và $A'$ là một vành con của $K'$ chứa $A$, với $K'$ là trường các phân thức và nguyên trên $A$. Cho $m$ là một iđêan cực đại của $A$ và $B$ là vành địa phương $A[X]_{mA[X]}$ (Bài tập 15).

(a) Vành con $B' = B[A']$ của $K'(X)$ là nguyên trên $B$; trường các phân thức của nó là $K'(X)$ và $[K'(X):K(X)] = n$.

(b) Với mọi iđêan cực đại $m'$ của $A'$ chứa $m$, $n' = m'B'$ là một iđêan cực đại của $B'$; nếu ta viết $n = mB$, thì

và (Nhận xét rằng $(A'/m') \otimes_A B$ là đẳng cấu với trường $(A'/m')(X)$ và suy ra rằng $B'/n'$ là đẳng cấu với $(A'/m')(X)$.)

(c) Ánh xạ $m' \mapsto m'B'$ là song ánh của tập hợp các iđêan cực đại của $A$ chứa $m$ lên tập hợp các iđêan cực đại của $B'$; song ánh ngược là $n' \mapsto n' \cap A'$.