Exercice 16, § 2

Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, K’ une extension de degré fini $n$ de K, A’ un sous-anneau de K’ contenant A, ayant K’ pour corps des fractions et entier sur A. Soient m un idéal maximal de A, B l’anneau local $A[X]_{mA[x]}$ (exerc. 15).

a) Le sous-anneau $B' = B[A']$ de $K'(X)$ est entier sur B; son corps des fractions est $K'(X)$ et on a $[K'(X) : K(X)] = n$.

b) Pour tout idéal maximal $m'$ de $A'$ contenant m, $n' = m'B'$ est un idéal maximal de $B'$; si l’on pose $\mathfrak{n} = mB$, on a

(Observer que $(A'/m') \otimes_A B$ est isomorphe au corps $(A'/m') (X)$ et en déduire que $B'/n'$ est isomorphe à $(A'/m') (X)$).

c) L’application $m' \to m'B'$ est une bijection de l’ensemble des idéaux maximaux de $A'$ contenant m sur l’ensemble des idéaux maximaux de $B'$; la bijection réciproque est $n' \to n' \cap A'$.