Bài tập 18, § 2

Cho $A$ là một miền địa phương nguyên đóng, $K$ là trường các phân thức của nó, $m$ là iđêan cực đại của nó và $k = A/m$ là trường thặng dư của nó. Cho $K'$ là một mở rộng đại số hữu hạn của $K$ có bậc $n$, $A'$ là một vành con của $K$ chứa $A$, nguyên trên $A$ và có $K'$ là trường các phân thức và $m_i$ ($1 \leq i \leq r$) là các iđêan cực đại của $A$. Một iđêan $m$ được gọi là không phân nhánh trong $A'$ nếu tồn tại một cơ sở $(w_i)_{1 \leq i \leq r}$ của $K'$ trên $K$ gồm các phần tử của $A'$ và biệt thức của nó $D_{K'/K}(w_1, \ldots, w_r)$ (Đại số, Chương IX, § 2) thuộc về $A - m$.

(a) Chứng minh rằng, nếu $m$ là không phân nhánh trong $A'$, thì $K'$ là một mở rộng tách được của $K$, $A'$ là bao đóng nguyên của $A$ trong $K'$ và là một A-môđun tự do mà mọi cơ sở của nó trên $A$ đều là một cơ sở của $K'$ trên $K$; $mA'$ là căn Jacobson của $A'$ và $A'/mA'$ là một $k$-đại số nửa đơn có hạng $n$ trên $k$ tách được trên $k$ và là hợp thành trực tiếp của các trường $A'/m_i'$.

(b) Gọi $d_i$ là nhân tử tách được của bậc của $A'/m_i'$ trên $A/m$. Chứng minh rằng, nếu $k$ là vô hạn, thì $\sum_i d_i \leq n$ (sử dụng Bài tập 17 (c)); hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương: (α) $m$ không phân nhánh trong $A'$. (β) $A'$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn và $A'/mA'$ là một $k$-đại số nửa đơn và tách được trên $k$. (γ) $\sum_{i=1}^r d_i \leq n$. (Để thấy rằng (β) kéo theo (γ), chú ý rằng có một hệ các phần tử sinh của $A$-môđun $A'$ mà các lớp của chúng mod. $mA'$ lập thành một cơ sở của $A'/mA'$ trên $k$, sử dụng Chương II, § 3, no. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4; suy ra rằng

Để thấy rằng (γ) kéo theo (α), sử dụng Bài tập 17 (c) để chứng minh rằng tồn tại một cơ sở của $A'/mA'$ trên $k$ gồm các lũy thừa $\xi^i$ của một phần tử $\xi$ ($0 \leq i \leq n-1$); nếu $x \in A'$ là một phần tử thuộc lớp $\xi$, suy ra rằng $D_{K'/K}(1, x, \ldots, x^{n-1})$ thuộc về $A - m$.) Cho một ví dụ trong đó $K'$ tách được trên $K$, $A'/mA' = A/m$ và $A'$ không phải là một $A$-môđun sinh hữu hạn (xem Bài tập 9 (c)).

(c) Mở rộng các kết quả của (b) sang trường hợp $k$ hữu hạn (theo ký hiệu của Bài tập 16, chứng minh rằng, nếu $n$ không phân nhánh trong $B'$, thì $m$ không phân nhánh trong $A'$; lưu ý đến sự kiện rằng $B/n$ là vô hạn, sử dụng Bài tập 16 (c), do đó thu được một phần tử $t \in B'$ sao cho

chứng minh rằng có thể giả sử $z$ là một đa thức trong $A'[X]$ và, bằng cách biểu diễn biệt thức ở trên như một đa thức theo $X$, thu được sự tồn tại của một hệ gồm $n$ phần tử $w_i$ ($1 \leq i \leq n$) của $A'$ sao cho $D_{K'/K}(w_1, \ldots, w_r) \in A - m$).