Exercice 18, § 2

Soient $A$ un anneau local intègre et intégralement clos, $K$ son corps des fractions, $m$ son idéal maximal, $k = A/m$ son corps résiduel. Soient $K'$ une extension algébrique de $K$, de degré fini $n$, $A'$ un sous-anneau de $K'$ contenant $A$, entier sur $A$ et ayant $K'$ pour corps des fractions, $m_i$ ($1 \leq i \leq r$) les idéaux maximaux de $A'$. On dit que l’idéal $m$ est non ramifié dans $A'$ s’il existe une base $(w_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $K'$ sur $K$, formée d’éléments de $A'$ et dont le discriminant $D_{K'/K}(w_1, \ldots, w_n)$ (Alg., chap. IX, § 2) appartient à $A - m$.

a) Montrer que si $m$ est non ramifié dans $A'$, $K'$ est une extension séparable de $K$, $A'$ est la fermeture intégrale de $A$ dans $K'$ et est un $A$-module libre dont toute base sur $A$ est une base de $K'$ sur $K$; $mA'$ est le radical de $A'$, et $A'/mA'$ est une $k$-algèbre semi-simple de rang $n$ sur $k$, séparable sur $k$, composée directe des corps $A'/m'_i$.

b) Soit $d_i$ le facteur séparable du degré de $A'/m'_i$ sur $A/m$. Montrer que si $k$ est infini, on a $\sum_i d_i \leq n$ (utiliser l’exerc. 17 c)); en outre, les conditions suivantes sont équivalentes :

$\alpha)$ $m$ est non ramifié dans $A'$.

$\beta)$ $A'$ est un $A$-module de type fini et $A'/mA'$ est une $k$-algèbre semi-simple et séparable sur $k$.

$\gamma)$ $\sum_{i=1}^r d_i \leq n$.

(Pour voir que $\beta$) entraîne $\gamma)$, remarquer qu’il y a un système de générateurs du $A$-module $A'$ dont les classes mod. $mA'$ forment une base de $A'/mA'$ sur $k$, en utilisant le chap. II, § 3, no 2, cor. 2 de la prop. 4; en déduire que l’on a $[K':K] \leq [(A'/mA') : k]$. Pour voir que $\gamma)$ entraîne $\alpha)$, utiliser l’exerc. 17 c) pour montrer qu’il existe une base de $A'/mA'$ sur $k$ formée des puissances $\xi^i$ d’un élément $\xi (0 \leq i \leq n-1)$; si $x \in A'$ est un élément de la classe $\xi$, en déduire que $D_{K'/K}(1, x, \ldots, x^{n-1})$ appartient à $A - m$. Donner un exemple où $K'$ est séparable sur $K$, $A'/mA' = A/m$ et où $A'$ n’est pas un $A$-module de type fini (cf. exerc. 9 c)).

c) Étendre les résultats de b) au cas où $k$ est fini (avec les notations de l’exerc. 16, montrer que si $n$ est non ramifié dans $B'$, alors $m$ est non ramifié dans $A'$; en tenant compte du fait que $B/n$ est infini, utiliser 16 c), obtenant ainsi un élément $z \in B'$ tel que

montrer qu’on peut supposer que $z$ est un polynôme de $A'[X]$, et en exprimant le discriminant précédent comme polynôme en $X$, obtenir l’existence d’un système de $n$ éléments $w_i$ ($1 \leq i \leq n$) de $A'$ tel que $D_{K'/K}(w_1, \ldots, w_n) \in A - m$.