Bài tập 19, § 2

Cho $A$ là một miền nguyên đóng, $K$ là trường phân thức của nó, $K'$ là một mở rộng đại số hữu hạn của $K$ có bậc $n$ và $A'$ là một vành con của $K'$ chứa $A$, nguyên trên $A$ và có $K'$ làm trường phân thức; nếu $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$, ký hiệu $A'_p$ là vành phân thức của $A'$ mà các mẫu thuộc $A - p$. $p$ được gọi là không phân nhánh trong $A'$ nếu $pA_p$ không phân nhánh trong $A'_p$.

(a) Cho $p_i'$ ($1 \leq i \leq r$) là các iđêan nguyên tố của $A'$ nằm trên $p$. Cho $d_i$ là nhân tử tách được của bậc của trường phân thức của $A'/p_i'$ trên trường phân thức của $A/p$; chứng minh rằng $\sum_{i=1}^r d_i \leq n$. (Rút gọn về Bài tập 18.)

(b) Các điều kiện sau là tương đương: (α) Iđêan $p$ không phân nhánh trong $A'$. (β) $A'$ chứa một cơ sở của $K'$ trên $K$ mà biệt thức của nó thuộc $A - p$. (γ) $\sum_{i=1}^r d_i = n$. Đặc biệt, nếu $r = n$, thì $p$ không phân nhánh trong $A'$. Cho một ví dụ trong đó $p$ không phân nhánh trong $A'$ nhưng $A'$ không phải là một A-môđun sinh hữu hạn (xem Bài tập 9 (a)).

(c) $A$ được gọi là không phân nhánh trong $A'$ (hoặc trong $K'$) nếu mọi iđêan nguyên tố của $A$ đều không phân nhánh trong $A'$. Chứng minh rằng khi đó $A'$ là một $A$-môđun phẳng trung thành (xem Chương II, § 3, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 15). Cho $K''$ là một mở rộng đại số hữu hạn của $K'$ có bậc $n'$; cho $A'$ là bao đóng nguyên của $A$ trong $K'$ và $A''$ là bao đóng nguyên của $A$ trong $K''$; để $A$ không phân nhánh trong $A''$, điều kiện cần và đủ là $A$ không phân nhánh trong $A'$ và $A'$ không phân nhánh trong $A''$.

(d) Cho $k$ là một trường, $A$ là một đại số $k$ nguyên đóng nguyên và $K$ là trường phân thức của nó. Cho $k'$ là một mở rộng đại số hữu hạn tách được của $k$ có bậc $n$ trên $k$. Chứng minh rằng, nếu $k' \otimes_k K$ là một trường, thì $A$ không phân nhánh trong $k' \otimes_k K$ (xét một phần tử nguyên thủy $x$ của $k'$ trên $k$ và cơ sở của $k' \otimes_k K$ gồm các $x^i$ với $0 \leq i < n - 1$).