Exercice 19, § 2

Soient $A$ un anneau intègre et intégralement clos, $K$ son corps des fractions, $K'$ une extension algébrique de $K$, de degré fini $n$, $A'$ un sous-anneau de $K'$ contenant $A$, entier sur $A$ et ayant $K'$ pour corps des fractions; si $\mathfrak{p}$ est un idéal premier de $A$, on désigne par $A'_\mathfrak{p}$ l’anneau de fractions de $A'$ dont les dénominateurs sont dans $A - \mathfrak{p}$. On dit que $\mathfrak{p}$ est non ramifié dans $A'$ si $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ est non ramifié dans** $A'_\mathfrak{p}$.

\* a) Soient* $\mathfrak{p}'_i$ ($1 \leq i \leq r$) les idéaux premiers de $A'$ au-dessus de $\mathfrak{p}$. Soit $d_i$ le facteur séparable du degré du corps des fractions de $A'/\mathfrak{p}'_i$ sur le corps des fractions de $A/\mathfrak{p}$; montrer que l’on a $\sum_{i=1}^r d_i \leq n$. (Se ramener à l’exerc. 18).

\* b) Les conditions suivantes sont équivalentes*: α) L’idéal $\mathfrak{p}$ est non ramifié dans $A'$. β) A' contient une base de $K'$ sur $K$ dont le discriminant appartient à $A - \mathfrak{p}$.

γ) On a $\sum_{i=1}^r d_i = n$. En particulier, si $r = n$, $\mathfrak{p}$ est non ramifié dans $A'$. Donner un exemple où $\mathfrak{p}$ est non ramifié dans $A'$ mais où $A'$ n’est pas un $A$-module de type fini (cf. exerc. 9a)).

\* c) On dit que* $A$ est non ramifié dans $A'$ (ou dans $K'$)*: si tout idéal premier de $A$ est non ramifié dans $A'$. Montrer que $A'$ est alors un $A$-module fidèlement plat (cf. chap. II, § 3, no 4, cor. de la prop. 15). Soit $K''$ une extension algébrique de $K'$ de degré fini $n'$; soient $A'$ la fermeture intégrale de $A$ dans $K'$, $A''$ la fermeture intégrale de $A'$ dans $K''$; pour que $A$ soit non ramifié dans $A''$, il faut et il suffit que $A$ soit non ramifié dans $A'$ et que $A'$ soit non ramifié dans $A''$.

\* d) Soient* $k$ un corps, $A$ une $k$-algèbre intègre et intégralement close, $K$ son corps des fractions. Soit $k'$ une extension algébrique séparable de $k$, de degré fini $n$ sur $k$. Montrer que si $k' \otimes_k K$ est un corps, $A$ est non ramifié dans $k' \otimes_k K$ (considérer un élément primitif $x$ de $k'$ sur $k$, et la base de $k' \otimes_k K$ sur $K$ formée des $x^i$ pour $0 \leq i \leq n-1$).