Bài tập 20, § 2

Cho $A$ là miền nguyên được xác định trong Chương III, § 3, Bài tập 15 (b), $C$ là vành địa phương $\mathbf{A}_m$, $n = mA_m$ là iđêan cực đại của $C$ và $L$ là trường các phân thức của $A$ và $C$. Nếu $x, y$ là các ảnh chính tắc của $X$ và $Y$ trong $C$, hãy chứng minh rằng $t = y/x$ không thuộc $C$ nhưng $t^2 \in C$, do đó $C$ không nguyên đóng; hơn nữa $C' = C[t]$ là bao đóng nguyên của $C$ và đẳng cấu với $S^{-1}K[T]$ (T là một phần tử bất định), trong đó $S$ là tập con nhân của $K[T]$ gồm các đa thức không chia hết cho $T - 1$ cũng như không chia hết cho $T + 1$. Chứng minh rằng $C'$ là một C-môđun sinh hữu hạn và rằng các iđêan (cực đại) của $C'$ nằm trên $n$ là các iđêan chính $q_1 = (t - 1)C'$ và $q_2 = (t + 1)C'$; nhưng các vành địa phương $C'_{q_1}$ và $C'_{q_2}$ không phải là các $C$-đại số nguyên trên $C$.