Exercice 20, § 2

Soient $A$ l’anneau intègre défini au chap. III, § 3, exerc. 15 b), $C$ l’anneau local $A_m, \mathfrak{n} = mA_m$ l’idéal maximal de $C$, $L$ le corps des fractions de $A$ et de $C$. Si $x, y$ sont les images canoniques de $X$ et $Y$ dans $C$, montrer que $t = y/x$ n’appartient pas à $C$, mais que $t^2 \in C$, de sorte que $C$ n’est pas intégralement clos; en outre $C' = C[t]$ est la clôture intégrale de $C$ et est isomorphe à $S^{-1}K[T]$ (T indéterminée), où $S$ est la partie multiplicative de $K[T]$ formée des polynômes qui ne sont divisibles ni par $T-1$ ni par $T+1$. Montrer que $C'$ est un $C$-module de type fini, et que les idéaux (maximaux) de $C'$ au-dessus de $\mathfrak{n}$ sont les idéaux principaux $q_1 = (t-1)C'$ et $q_2 = (t+1)C'$; mais les anneaux locaux $C'_{q_1}$ et $C'_{q_2}$ ne sont pas des $C$-algèbres entières.