Bài tập 7, § 3

Cho $A$ là một miền Noether nguyên (Bài tập 6), $(t_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một dãy hữu hạn các phần tử của một trường mở rộng của trường phân thức của $A$, $B$ là vành $A[t_1, \ldots, t_n]$, $n$ là một iđêan cực đại của $B$, $p = A \cap n$, $A'$ là bao đóng nguyên của $A$ trong $B$ và $p' = n \cap A'$. Khi đó, nếu các vành địa phương $A'_p$ và $B_{n'}$ là phân biệt, tồn tại một iđêan nguyên tố của $B$ được chứa trong $n$, phân biệt với $n$ và chứa $p$ ("Định lý chính của Zariski"). (Sử dụng Bài tập 6 (b), rút gọn về trường hợp $A' = A$, rồi rút gọn về trường hợp $A$ là một vành địa phương với iđêan cực đại $p$. Chứng minh rằng $B/n$ khi đó là một mở rộng đại số hữu hạn của $A/p$ (xem no. 4, Định lý 3); suy ra rằng, với mọi vành $C$ sao cho $A \subset C \subset B$, $n \cap C$ là một iđêan cực đại của $C$. Sau đó lập luận bằng quy nạp trên $n$, ký hiệu $B_i$ là bao đóng nguyên của $A[t_1, \ldots, t_i]$ trong $B$; phân biệt hai trường hợp tùy theo việc $t_{i+1}$ là siêu việt hay đại số trên trường phân thức của $B_i$; trong trường hợp thứ nhất, sử dụng Bài tập 4 và, trong trường hợp thứ hai, Bài tập 5 (c).)