Exercice 7, § 3

Soient $A$ un anneau intégralement noethérien (exerc. 6), $(t_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite finie d’éléments d’un surcorps du corps des fractions de $A$, $B$ l’anneau $A[t_1, \ldots, t_n]$, $\mathfrak{n}$ un idéal maximal de $B$, $p = A \cap \mathfrak{n}$, $A'$ la fermeture intégrale de $A$ dans $B$, $p' = \mathfrak{n} \cap A'$. Alors, si les anneaux locaux $A'_p$ et $B_n$ sont distincts, il existe un idéal premier de $B$ contenu dans $\mathfrak{n}$, distinct de $\mathfrak{n}$ et contenant $p$ (« théorème principal de Zariski »). (A l’aide de l’exerc. 6 b), se ramener au cas où $A' = A$, puis se ramener au cas où $A$ est un anneau local d’idéal maximal $p$. Montrer que $B/\mathfrak{n}$ est alors une extension algébrique de degré fini de $A/p$ (cf. no 4, th. 3); en déduire que pour tout anneau $C$ tel que $A \subset C \subset B$, $\mathfrak{n} \cap C$ est un idéal maximal de $C$. Raisonner alors par récurrence sur $n$, en notant $B_i$ la fermeture intégrale de $A[t_1, \ldots, t_i]$ dans $B$; distinguer deux cas suivant que $t_{i+1}$ est transcendant ou algébrique sur le corps de fractions de $B_i$; dans le premier cas, utiliser l’exerc. 4, et dans le second l’exerc. 5 c)).