Bài tập 3, § 3

Cho $K$ là một trường, $w$ là một định giá trên $K$, $\Gamma$ là nhóm giá trị của $w$ và $k$ là trường thặng dư của $w$. Ta lập trường tương ứng $S(\Gamma, k)$ và giữ ký hiệu của Bài tập 2. Với mọi $t \in k$, cho $t^0$ là một phần tử của lớp $t$ trong vành định giá của $w$; với mọi $a \in \Gamma$, cho $u_a^0$ là một phần tử của $K$ sao cho $w(u_a^0) = a$.

(a) Cho $M$ là một tập con của $S(\Gamma, k)$ chứa các phần tử $tu_a$ với mọi cặp có thứ tự $(t, a) \in k \times \Gamma$; giả sử rằng tồn tại một song ánh $x \mapsto x^0$ của $M$ lên một tập con $M^0$ của $K$ và các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) $(tu_a)^0 = t^0 u_a^0$ với mọi cặp có thứ tự $(t, a) \in k \times \Gamma$; (2) nếu $x = (x_\alpha)$ thuộc $M$ và $C_x$ là tập con được sắp tốt của $\Gamma$ gồm các $a$ sao cho $x_\alpha \neq 0$, thì với mọi đoạn $D$ của $C_x$, phần tử $(x_\lambda)_{\lambda \in D}$ thuộc $M$; (3) nếu $x, y$ là hai phần tử của $M$ và $tu_a$ là số hạng trội của $x - y$, thì $w(x^0 - y^0 - t^0 u_a^0) > w(x^0 - y^0)$. Nếu $z'$ là một phần tử của $K$ không thuộc $M^0$, hãy chứng minh rằng tồn tại một phần tử $z \notin M$ trong $S(\Gamma, k)$ sao cho ánh xạ trùng với $x \mapsto x^0$ trên $M$ và gửi $z'$ tới $z$ cũng thỏa mãn các điều kiện trên. (Chú ý rằng, nếu $w(z') = \alpha$, thì tồn tại một $t^0$ sao cho

viết $z_\alpha = t u_\alpha$, sau đó chứng minh bằng quy nạp siêu hạn rằng các $z_\beta$ có chỉ số $\beta > \alpha$ có thể được xác định sao cho $z = (z_\lambda)_{\lambda \in \Gamma}$ giải được bài toán.)

(b) Suy ra từ (a) rằng $\mathrm{Card}(K) \leq \mathrm{Card}\ S(\Gamma, k)$.