Exercice 3, § 3

Soient $K$ un corps, $w$ une valuation sur $K$, $\Gamma$ le groupe des valeurs de $w$ et $k$ le corps résiduel de $w$. On forme le corps $S(\Gamma, k)$ correspondant et l’on conserve les notations de l’exerc. 2. Pour tout $t \in k$, soit $t^0$ un élément de classe $t$ dans l’anneau de valuation de $w$; pour tout $\alpha \in \Gamma$, soit $u_\alpha^0$ un élément de $K$ tel que $w(u_\alpha^0) = \alpha$.

a) Soit $M$ une partie de $S(\Gamma, k)$ contenant les éléments $tu_\alpha$ pour tout couple $(t, \alpha) \in k \times \Gamma$; on suppose qu’il existe une bijection $x \to x^0$ de $M$ sur une partie $M^0$ de $K$ et que les conditions suivantes soient vérifiées : 1° $(tu_\alpha)^0 = t^0 u_\alpha^0$ pour tout couple $(t, \alpha) \in k \times \Gamma$; 2° si $x = (x_\alpha)$ appartient à $M$ et si $C_x$ est la partie bien ordonnée de $\Gamma$ formée des $\alpha$ tels que $x_\alpha \neq 0$, alors, pour tout segment $D$ de $C_x$, l’élément $(x_\lambda)_{\lambda \in D}$ appartient à $M$; 3° si $x, y$ sont deux éléments de $M$ et si $tu_\alpha$ est le terme dominant de $x - y$, alors on a $w(x^0 - y^0 - t^0 u_\alpha^0) > w(x^0 - y^0)$. Si $z'$ est un élément de $K$ n’appartenant pas à $M^0$, montrer qu’il existe un élément $z \notin M$ dans $S(\Gamma, k)$ tel que l’application qui coïncide avec $x \to x^0$ dans $M$ et fait correspondre $z'$ à $z$ vérifie encore les conditions précédentes. (Noter que si $w(z') = \alpha$, il existe un $t^0$ tel que $w(z' - t^0 u_\alpha^0) > \alpha$; poser $z_\alpha = tu_\alpha$, puis montrer par récurrence transfinie que l’on peut déterminer les $z_\beta$ d’indice $\beta > \alpha$ de sorte que $z = (z_\lambda)_{\lambda \in \Gamma}$ réponde à la question).

b) Déduire de a) que l’on a Card $(K) \leqslant \mathrm{Card}\ S(\Gamma, k)$.