Bài tập 2, § 6

Cho $D$ là một trường không giao hoán có đặc số $\neq 2$ và $\mathbf{Z}$ là tâm của nó. Giả sử rằng mọi trường con giao hoán $K$ của $D$ chứa $\mathbf{Z}$ đều có bậc $\leq 2$ trên $\mathbf{Z}$.

(a) Chứng minh mà không sử dụng Bổ đề 1 rằng $[D : \mathbf{Z}] = 4$. (Lấy $a \in D - \mathbf{Z}$ sao cho $a^2 \in \mathbf{Z}$ và đặt $\sigma(x) = axa^{-1}$ với mọi $x \in D$; chú ý rằng $D$ phân rã thành tổng trực tiếp của hai không gian vectơ trên $\mathbf{Z}$, $D_+$ và $D_-$ sao cho $\sigma(x) = x$ trên $D_+$, $\sigma(x) = -x$ trên $D_-$; cũng chú ý rằng $D_+$ là một trường con của $D$ và $D_-$ là một không gian vectơ chiều 1 trên $D_+$; cuối cùng, chứng minh rằng $D_+$ không thể phân biệt với $\mathbf{Z}(a)$.) (b) Chứng minh rằng $D$ là một đại số quaternion trên $\mathbf{Z}$. (Dạng một cơ sở của $D$ trên $\mathbf{Z}$ với sự trợ giúp của (a).)