Exercice 2, § 6

Soient $D$ un corps non commutatif de caractéristique $\neq 2$, et $Z$ son centre. On suppose que tout sous-corps commutatif $K$ de $D$ contenant $Z$ est de degré $\leqslant 2$ sur $Z$.

a) Montrer sans utiliser le lemme 1, que $[D : Z] = 4$. (Soit $a \in D - Z$ tel que $a^2 \in Z$ et soit $\sigma(x) = axa^{-1}$ pour tout $x \in D$; remarquer que $D$ se décompose en somme directe de deux sous-espaces vectoriels sur $Z$, $D_+$ et $D_-$, tels que $\sigma(x) = x$ dans $D_+$, $\sigma(x) = -x$ dans $D_-$; noter aussi que $D_+$ est un sous-corps de $D$ et $D_-$ un espace vectoriel de dimension 1 sur $D_+$; enfin, montrer que $D_+$ ne peut être distinct de $Z(a)$).

b) Montrer que $D$ est une algèbre de quaternions sur $Z$. (Former une base de $D$ sur $Z$ à l’aide de $a$).