Bài tập 12, § 8

Cho K là một trường, $v$ là một định giá trên K, A là vành của định giá $v$ và $\Gamma$ là nhóm cấp của nó.

(a) Cho $f(X) = a_0 X^n + a_1 X^{n-1} + \ldots + a_n$ là một đa thức trong $A[X]$ sao cho $v(a_0) = 0$, tất cả các nghiệm của nó thuộc K; gọi $x_i$ ($1 \leq i \leq r$) là các nghiệm phân biệt này và gọi $k_i$ là cấp bội số của $x_i$ ($1 \leq i \leq r$). Cho

là một đa thức khác trong $\mathbf{A}[X]$ sao cho $v(b_0) = 0$ và các $y_i$ thuộc K. Chứng minh rằng tồn tại $\lambda_0 \in \Gamma$ sao cho $v(x_i - x_j) < \lambda_0$ với mọi cặp có thứ tự của các chỉ số phân biệt $i, j$ và, với mọi $A \geq A_n$, tồn tại $\mu \geq \lambda$ sao cho các hệ thức $v(a_i - b_i) \geq \mu$ với mọi $i$ kéo theo rằng, với $1 \leq i \leq r$, có đúng $k_i$ chỉ số $h$ sao cho $v(x_i - y_h) \geq A$. (Trước hết đánh giá $v(f(y_h))$ theo hai cách để chỉ ra rằng nhất thiết $v(x_i - y_h) \geq \lambda$ đối với ít nhất một $i$; sau đó đánh giá

tại các điểm thích hợp $z \in K$.) Nếu thêm vào đó $b_i = a_i$ trừ khi $i = n - 1$, chứng minh rằng, miễn là $\lambda_0$ đủ lớn, các $y_h$ đều phân biệt (đánh giá $f'(y_h)/f(y_h)$ với giả thiết rằng $y_h$ không là một nghiệm đơn của $g$).

(b) Từ đây giả sử rằng K là bao đóng đại số của một trường con $K_0$ sao cho $A_n = A \cap K_0$ là Henselian. Giả sử rằng đa thức $f$ thuộc $A_0[X]$ và là bất khả quy và tách được trên $K_0$. Cho $z \in K$ sao cho

với mọi $j \neq i$; khi đó chứng minh rằng $K_0(x_i) \subset K_0(z)$. (Chứng minh rằng $z - x_i$ bằng tất cả các liên hợp của nó đối với $K_0(x_i)$.)

(c) Giả sử rằng $f \in A_0[X]$ là tách được và đặt $f = a_0 \prod_{i=1}^r f_i$ là phân tích của f thành các đa thức bất khả quy đơn thức trong $K_0[X]$ (thực ra thuộc $A_0[X]$, cf. Chương V, § 1, no. 3, Mệnh đề 11). Chứng minh (theo ký hiệu của (a)) rằng, nếu $\mu$ được lấy đủ lớn, thì phân tích của g thành các thừa số bất khả quy đơn thức trong $K_0[X]$ có thể viết dưới dạng $b_0 \prod_{i=1}^r g_i$, trong đó, với mọi $i$, $g_i$ có cùng bậc với $f_i$ (một phân tích được nói là "cùng kiểu" với phân tích của $f$) và hơn nữa các trường tách của $f_i$ và $g_i$ là giống nhau với mọi $i$. (Trước hết chứng minh rằng g là tách được; sau đó xét một mở rộng Galois hữu hạn của $K_0$ chứa các nghiệm của $f$ và g và xét cách mà nhóm Galois của mở rộng này hoán vị các nghiệm đó; cuối cùng sử dụng (b).)

(d) Hãy cho một ví dụ trong đó $f$ là bất khả quy nhưng không tách được và trong đó, với mọi $\mu \geq A_n$ tồn tại một đa thức

sao cho $v(a_i - b_i) \geq \mu$ với mọi $i$, không bất khả quy (lấy $K_0$ sao cho $K \neq K_0$ và K là một mở rộng thuần phân của $K_0$).