Exercice 12, § 8

Soient K un corps, $v$ une valuation sur K, A l’anneau de la valuation $v$, $\Gamma$ son groupe des ordres.

a) Soit $f(X) = a_0 X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$ un polynôme de $A[X]$ tel que $v(a_0) = 0$, dont toutes les racines appartiennent à K; soient $x_i \ (1 \leq i \leq r)$ ces racines distinctes et soit $k_i$ l’ordre de multiplicité de $x_i \ (1 \leq i \leq r)$. Soit

un second polynôme de $A[X]$ tel que $v(b_0) = 0$ et que les $y_h$ appartiennent à $K$. Montrer qu’il existe $\lambda_0 \in \Gamma$ tel que $v(x_i - x_j) < \lambda_0$ pour tout couple d’indices distincts $i, j$ et que, pour tout $\lambda \geq \lambda_0$, il existe $\mu \geq \lambda$ tel que les relations $v(a_i - b_i) \geq \mu$ pour tout $i$ entraînent que, pour $1 \leq i \leq r$, il y a exactement $k_i$ indices $h$ tels que $v(x_i - y_h) \geq \lambda$. (Évaluer d’abord de deux manières $v(f(y_h))$ pour montrer que l’on a nécessairement $v(x_i - y_h) \geq \lambda$ pour un $i$ au moins; puis évaluer $v \left( \frac{f'(z)}{f(z)} - \frac{g'(z)}{g(z)} \right)$ en des points $z \in K$ convenables). Si en outre $b_i = a_i$ sauf pour $i = n - 1$, montrer que dès que $\lambda_0$ est assez grand, les $y_h$ sont tous distincts (évaluer $f'(y_h)/f(y_h)$ en supposant que $y_h$ n’est pas racine simple de $g$).

b) On suppose désormais que $K$ est la clôture algébrique d’un sous-corps $K_0$ tel que $A_0 = A \cap K_0$ soit hensélien. Supposons que le polynôme $f$ appartienne à $A_0[X]$ et soit irréductible et séparable sur $K_0$. Soit $z \in K$ tel que $v(z - x_i) > v(z - x_j)$ pour tout $j \neq i$; montrer alors que l’on a $K_0(x_i) \subset K_0(z)$. (Montrer que $z - x_i$ est égal à tous ses conjugués par rapport à $K_0(x_i)$.)

c) Supposons que $f \in A_0[X]$ soit séparable, et soit $f = a_0 \prod_{i=1}^r f_i$ la décomposition de $f$ en polynômes irréductibles unitaires de $K_0[X]$ (qui appartiennent en fait à $A_0[X]$, cf. chap. V, § 1, no 3, prop. 11). Montrer (avec les notations de $a$) que si $\mu$ est pris assez grand, la décomposition de $g$ en facteurs irréductibles unitaires de $K_0[X]$ peut s’écrire $b_0 \prod_{i=1}^r g_i$ où, pour tout $i$, $g_i$ est de même degré que $f_i$ (décomposition dite « du même type » que celle de $f$), et en outre les corps des racines de $f_i$ et de $g_i$ sont les mêmes pour tout $i$. (Montrer d’abord que $g$ est séparable; considérer ensuite une extension galoisienne de degré fini de $K_0$ contenant les racines de $f$ et de $g$, et envisager la façon dont le groupe de Galois de cette extension permutte ces racines; utiliser enfin $b$).

d) Donner un exemple où $f$ est irréductible mais non séparable et où, quel que soit $\mu \geq \lambda_0$, il existe un polynôme

avec $v(a_i - b_i) \geq \mu$ pour tout $i$, et qui ne soit pas irréductible (prendre $K_0$ tel que $K \neq K_0$ et que $K$ soit une extension radicielle de $K_0$).