Bài tập 15, § 8

(a) Cho $K$ là một trường, $v_1, v_2$ là hai định giá độc lập (§ 7, no. 2) trên $K$ và $K_1, K_2$ là các hoàn thiện của $K$ tương ứng đối với $v_1$ và $v_2$. Cho $L_1, L_2$ là hai trường sao cho $K \subset L_1 \subset K_1, K \subset L_2 \subset K_2$, là Hensel (với các mở rộng bằng tính liên tục của $v_1$ và $v_i$ tương ứng). Cho $g_1 \in L_1[X], g_2 \in L_2[X]$ là hai đa thức tách được có cùng bậc $n$. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức $h \in K[X]$ sao cho trong $L_i[X]$, nó có cùng kiểu phân tích (Bài tập 12 (c)) như $g_i$ ($i = 1, 2$). (Rút gọn về trường hợp $g_1$ và $g_2$ thuộc $K[X]$ và là đơn thức; xét đa thức

trong đó $v_1(a) \leq 0, v_2(a) > 0$ là lớn tùy ý và $v_1(b) > 0$ là lớn tùy ý.)

(b) Suy ra từ (a) rằng, nếu $K$ là Hensel với $v_1$, bao đóng đại số của $L_i$ là thuần túy trên $L_i$ và $K_2$ là đóng đại số (lấy $g_2$ là bất khả quy và $g_1 \in K[X]$ là tích của $n$ nhân tử phân biệt có bậc nguyên tố).

(c) Suy ra từ (b) rằng, nếu $K$ là Hensel với $v_1$ và $v_2$, bao đóng đại số của $K$ là thuần túy trên $K$.

(d) Chứng minh rằng, nếu K là Hensel với một định giá rời rạc v, bao đóng đại số của K không thể là thuần túy trên K và do đó K không thể là Hensel với bất kỳ định giá nào độc lập với v (xem Đại số, Chương V, § 11, Bài tập 12).