Exercice 15, § 8

a) Soient K un corps, $v_1, v_2$ deux valuations indépendantes (§ 7, no 2) sur K, $K_1, K_2$ les complétés de K pour $v_1$ et $v_2$ respectivement. Soient $L_1, L_2$ deux corps tels que $K \subset L_1 \subset K_1, K \subset L_2 \subset K_2$, qui soient henséliens (pour les prolongements par continuité de $v_1$ et $v_2$ respectivement). Soient $g_1 \in L_1[X], g_2 \in L_2[X]$ deux polynômes séparables ayant même degré n. Montrer qu’il existe un polynôme $h \in K[X]$ qui, dans $L_i[X]$, a le même type de décomposition (exerc. 12 c)) que $g_i$ ($i = 1, 2$). (Se ramener au cas où $g_1$ et $g_2$ sont dans K[X] et sont unitaires; considérer le polynôme $a^n g_1(X/a) + b^n g_2(X/b) - X^n$, où $v_1(a) \leq 0, v_2(a) > 0$ est arbitrairement grand et $v_1(b) > 0$ est arbitrairement grand.)

b) Déduire de a) que si K est hensélien pour $v_1$, la clôture algébrique de $L_2$ est radicielle sur $L_2$, et $K_2$ est algébriquement clos (prendre $g_2$ irréductible et $g_1 \in K[X]$ produit de n facteurs distincts du premier degré).

c) Déduire de b) que si K est hensélien pour $v_1$ et $v_2$, la clôture algébrique de K est radicielle sur K.

d) Montrer que si K est hensélien pour une valuation discrète $v$, la clôture algébrique de K ne peut être radicielle sur K, et par suite K ne peut être hensélien pour aucune valuation indépendante de $v$ (utiliser Alg., chap. V, § 11, exerc. 12).