Bài tập 20, § 8

Cho K là một trường có đặc số $\neq 2$ là Hensel đối với một định giá $v$; cho $\xi \mapsto \bar{\xi}$ là một tự đẳng cấu đối hợp của K sao cho $v(\bar{\xi}) = v(\xi)$ và cho $\Phi$ là một dạng Hermit không suy biến trên một không gian vectơ hữu hạn chiều E trên K.

(a) Cho $U = (\alpha_{ij})$ là ma trận của $\Phi$ đối với một cơ sở $(e_i)$ của E; hãy chứng minh rằng tồn tại một phần tử $\lambda$ của nhóm cấp của $v$ sao cho, nếu $\Phi'$ là một dạng Hermit khác trên E có ma trận $U' = (\alpha'_{ij})$ đối với $(e_i)$ thỏa mãn các điều kiện $v(\alpha_{ij} - \alpha'_{ij}) > \lambda$ với mọi cặp có thứ tự $(i, j)$, thì $\Phi$ và $\Phi'$ là tương đương. (Lập luận như trong Đại số, Chương IX, § 6, Bài tập 6, sử dụng Bài tập 14 (a) ở trên.)

(b) Giả sử rằng $\xi \mapsto \bar{\xi}$ là đồng nhất (do đó $\Phi$ là một dạng đối xứng) và rằng định giá $v$ là rời rạc, chuẩn hóa và sao cho $v(2) = 0$; cho x là một phần tử đồng nhất hóa của $v$. Hãy chứng minh rằng $\Phi$ được đặc trưng, đến tương đương, bởi chỉ số $v$ của nó và bởi hai dạng song tuyến tính đối xứng $\Psi_1, \Psi_2$ có chỉ số 0 trên các không gian vectơ $k^r$ và $k^s$ tương ứng, trong đó k là trường thặng dư của $v$ và $r + s = n - 2$. (Với sự trợ giúp của một phân tích Witt, hãy rút gọn về trường hợp $\Phi$ có chỉ số 0; với sự trợ giúp của Bài tập 19, hãy chứng minh rằng, với mọi $i \geq 0$, tập hợp $M_i$ gồm các $x \in E$ sao cho $v(\Phi(x, x)) \geq i$ là một môđun trên vành A của định giá $v$. Hãy chứng minh rằng, nếu $x \in M_i, y \in M_{i+1}$, thì $v(\Phi(x, y)) \geq i + 1$ và, bằng cách lấy các thương, các dạng song tuyến tính đối xứng do đó có thể được dẫn xuất từ $\Phi$ trên các không gian vectơ k $M_0/M_1$ và $M_1/M_2$. Sử dụng Bài tập 6 (c) của § 3 và sự kiện rằng phương trình $\xi^2 = \alpha$ có một nghiệm trong A với $a \equiv 1 \pmod{\pi}$.) Xét trường hợp k là hữu hạn (xem Đại số, Chương IX, § 6, Bài tập 4).