Exercice 20, § 8

Soit $K$ un corps de caractéristique $\neq 2$, hensélien pour une valuation $v$; soit $\xi \to \bar{\xi}$ un automorphisme involutif de $K$ tel que $v(\bar{\xi}) = v(\xi)$, et soit $\Phi$ une forme hermitienne non dégénérée sur un espace vectoriel $E$ de dimension finie sur $K$.

a) Soit $U = (\alpha_{ij})$ la matrice de $\Phi$ par rapport à une base $(e_i)$ de $E$; montrer qu’il existe un élément $\lambda$ du groupe des ordres de $v$ tel que, si $\Phi'$ est une seconde forme hermitienne sur $E$, dont la matrice $U' = (\alpha_{ij}')$ par rapport à $(e_i)$ vérifie les conditions $v(\alpha_{ij} - \alpha_{ij}') > \lambda$ pour tout couple $(i, j)$, alors $\Phi$ et $\Phi'$ sont équivalentes. (Raisonner comme dans Alg., chap. IX, , exerc. 6, en utilisant l’exerc. 14 a) ci-dessus.)

b) On suppose que $\xi \to \bar{\xi}$ est l’identité (donc $\Phi$ est une forme symétrique) et que la valuation $v$ est discrète, normée et telle que $v(2) = 0$; soit $\pi$ une uniformisante pour $v$. Montrer que $\Phi$ est caractérisée, à une équivalence près, par son indice $v$ et par deux formes bilinéaires symétriques $\Psi_1, \Psi_2$ d’indice 0 sur des espaces vectoriels $k^r$ et $k^s$ respectivement, où $k$ est le corps résiduel de $v$ et $r + s = n - 2$. (A l’aide d’une décomposition de Witt, se ramener au cas où $\Phi$ est d’indice 0; à l’aide de l’exerc. 19, montrer que, pour tout $i \geqslant 0$, l’ensemble $M_i$ des $x \in E$ tels que $v(\Phi(x, x)) \geqslant i$ est un module sur l’anneau $A$ de la valuation $v$. Montrer que si $x \in M_i,\ y \in M_{i+1}$, on a $v(\Phi(x, y)) \geqslant i + 1$, et par passage aux quotients, on déduit donc de $\Phi$ des formes bilinéaires symétriques sur les $k$-espaces vectoriels $M_0/M_1$ et $M_1/M_2$. On utilisera l’exerc. 6 c) du § 3 et le fait que l’équation $\xi^2 = \alpha$ a une solution dans $A$ pour $\alpha \equiv 1$ (mod. $\pi$). Cas où $k$ est fini (cf. Alg., chap. IX, § 6, exerc. 4.)