Bài tập 21, § 8

Cho K là một trường, $v$ là một định giá rời rạc trên K, A là vành của $v$, $\pi$ là một phần tử đồng nhất hóa của $v$ và k là trường thặng dư của $v$.

(a) Cho P, R là hai đa thức trong $A[X]$, P là đơn nhất, và giả sử rằng: (1) $\deg(R) < h \cdot \deg(P)$, trong đó $h \geq 1$ là một số nguyên; (2) ảnh chính tắc $\overline{P}$ của P trong $k[X]$ là bất khả quy. Hãy chứng minh rằng, khi đó, nếu đa thức $Q = P^h + \pi R$ là khả quy trong $\mathbf{K}[X]$, thì nhất thiết $h > 1$ và $\overline{P}$ chia ảnh chính tắc $\overline{R}$ của R trong $k[X]$. Suy ra rằng, với một đa thức bất khả quy đơn nhất đã cho $r(X) \in k[X]$ và một số nguyên đã cho $h \geq 1$, tồn tại một đa thức bất khả quy tách được $Q \in A[X]$ sao cho ảnh chính tắc $\overline{Q}$ của nó bằng $r^h$.

(b) Cho $k' = k(\alpha)$ là một mở rộng đại số của k có bậc m và h là một số nguyên $\geq 1$. Hãy chứng minh rằng tồn tại một mở rộng đại số L của K có bậc $hm$ sao cho chỉ có duy nhất một định giá $v'$ (sai khác đẳng giá) trên L mở rộng $v$, rằng $e(v'/v) = h, f(v'/v) = m$ và trường thặng dư của $v'$ đẳng cấu với $k'$ (sử dụng (a)).