Exercice 21, § 8

Soient $K$ un corps, $v$ une valuation discrète sur $K$, $A$ l’anneau de $v$, $\pi$ une uniformisante de $v$, $k$ le corps résiduel de $v$.

a) Soient $P, R$ deux polynômes de $A[X]$, $P$ étant unitaire, et supposons que : 1° $\deg(R) < h.\deg(P)$, où $h \geqslant 1$ est un entier; 2° l’image canonique $\overline{P}$ de $P$ dans $k[X]$ est irréductible. Montrer alors que si le polynôme $Q = P^h + \pi R$ est réductible dans $\hat{K}[X]$, on a nécessairement $h > 1$, et $\overline{P}$ divise l’image canonique $\overline{R}$ de $R$ dans $k[X]$. En déduire que pour un polynôme irréductible unitaire donné $r(X) \in k[X]$ et un entier donné $h \geqslant 1$, il existe un polynôme irréductible et séparable $Q \in A[X]$ tel que son image canonique $\overline{Q}$ soit égale à $r^h$.

b) Soient $k' = k(\alpha)$ une extension algébrique de $k$, de degré $m$, et $h$ un entier $\geqslant 1$. Montrer qu’il existe une extension algébrique $L$ de $K$ de degré $hm$, telle qu’il n’y ait qu’une seule valuation $v'$ (à une équivalence près) sur $L$ prolongeant $v$, que l’on ait $e(v'/v) = h$, $f(v'/v) = m$ et que le corps résiduel de $v'$ soit isomorphe à $k'$ (utiliser a)).