Bài tập 6, § 8

Cho K là một trường, v là một định giá trên K và A là vành của v.

(a) Giả sử rằng A là Hensel (Chương III, § 4, Bài tập 3), trong trường hợp này ta cũng nói, do một sự lạm dụng ngôn ngữ, rằng K là Hensel đối với v. Khi đó, với mọi mở rộng đại số L của K và mọi định giá v' trên L mở rộng v, vành A' của v' là Hensel (Chương III, § 4, Bài tập 4).

(b) Nếu K đầy đủ với v và v có bậc 1, thì A là Hensel. Hãy cho một ví dụ trong đó K đầy đủ với v và v có bậc 2, nhưng A không là Hensel (xem Bài tập 1).

(c) Nếu K là compact tuyến tính với v, chứng minh rằng K là Hensel. (Trong ký hiệu của điều kiện (H) của Chương III, § 4, Bài tập 3, gọi $\mathscr{L}$ là tập hợp các iđêan nguyên tố của A được sắp thứ tự (hoàn toàn) bởi bao hàm và $\mathfrak{L}$ là tập hợp các cặp có thứ tự ($\mathfrak{B}_+$), trong đó $\mathfrak{B}$ là một tập con có thứ tự tốt (đối với quan hệ $\supset$) của $\mathscr{L}$ và $\phi : p \mapsto (Q_p, Q'_p)$ là một ánh xạ từ $\mathfrak{B}$ vào tập hợp $A[X] \times A[X]$, với các tính chất sau: (1) Q, và $Q'_p$ là monic có các bậc tương ứng $\deg(\overline{Q})$ và $\deg(\overline{Q'})$; (2) nếu p $\supset q$ là hai phần tử của $\mathfrak{B}$, các hệ số của các đa thức $Q - Q_p$ và $Q'_p - Q'_a$ thuộc về p; (3) các hệ số của $P - Q_p Q'_p$ thuộc về p; (4) $\tilde{f}(Q_p) = \overline{Q}$, $\tilde{f}(Q'_p) = \overline{Q}'$. Định nghĩa trên $\mathscr{L}$ một thứ tự bằng cách đặt $(\mathfrak{B}, \phi) \leq (\mathfrak{B}', +')$ khi $\mathfrak{B} \subset \mathfrak{B}'$ và $\phi'$ là một mở rộng của $\phi$ đến $\mathfrak{B}'$. Chứng minh rằng $\mathscr{L}$ thừa nhận một phần tử cực đại $(\mathfrak{B}_0, \phi_0)$ và rằng $\mathfrak{B}_0$ có một phần tử cuối cùng bằng (0): suy ra một mâu thuẫn từ điều đối bằng cách xét hai trường hợp, tùy theo việc $\mathfrak{B}_0$ có hay không có một phần tử cuối cùng; trong trường hợp thứ nhất, nếu p là phần tử cuối cùng này, xét một phần tử c $\in A$ sao cho $v(c)$ là giá trị nhỏ nhất được v nhận trên tập hợp các hệ số của $P - Q_p Q'_p$ và iđêan nguyên tố p' nhỏ nhất của A chứa c; nếu $p' = p$, dùng Bài tập 2 (a) của § 4 và sự kiện rằng thương của một môđun compact tuyến tính bởi một môđun con đóng là compact tuyến tính và do đó đầy đủ. Nếu ngược lại $\mathfrak{B}_0$ không có phần tử cuối cùng, dùng trực tiếp giả thiết rằng A là compact tuyến tính.)

(d) Trong ký hiệu của Bài tập 5, chứng minh rằng để $A$ là Hensel thì điều kiện cần và đủ là $A'$ và $A$ cũng là như vậy. (Chú ý rằng, nếu $P \in A'[X]$, tồn tại $a \in A$ sao cho $a^n P(X/a) \in A[X]$ (trong đó $n$ là bậc của $P$); để kiểm tra tiên đề (H) của Chương III, § 4, Bài tập 3 đối với $A'$, có thể chỉ xét các đa thức của $A[X]$; dùng sự kiện rằng $A' = A_p$, trong đó $p$ là một iđêan nguyên tố của A được chứa trong iđêan cực đại $m$, và chú ý rằng, nếu hai đa thức trong $(A/p)[X]$ là nguyên tố cùng nhau mạnh, thì ảnh của chúng trong $(A/m)[X]$ cũng vậy.)

(e) Giả sử rằng $A$ là Henselian; khi đó, đối với mọi mở rộng đại số $L$ của $K$, chỉ tồn tại duy nhất một định giá trên $L$ mở rộng $v$ (sai khác một tương đương). (Nếu $P \in A[X]$ là một đa thức bất khả quy monic, $x_i$ ($1 \leq i \leq m$) là các nghiệm phân biệt của $P$ trong trường phân rã $N$ của nó, hãy chứng minh rằng, đối với mọi định giá $v'$ trên $N$ mở rộng $v$, các $v'(x_i)$ đều bằng nhau với $1 \leq i \leq m$.) Ngược lại, nếu vành định giá $A$ có tính chất này, thì nó là Henselian (nhận xét rằng, trong bao đóng nguyên $A'$ của $A$ trong $L$, chỉ có thể tồn tại duy nhất một iđêan cực đại nằm trên $m$ (Chương V, § 1, Bài tập 13) và kết luận rằng, nếu $P \in A[X]$ là một đa thức bất khả quy monic thì ảnh của nó trong $(A/m)[X]$ không thể là một tích của hai đa thức nguyên tố cùng nhau).