Exercice 6, § 8

Soient K un corps, v une valuation sur K, A l’anneau de v.

a) Supposons que A soit hensélien (chap. III, § 4, exerc. 3) auquel cas on dit aussi, par abus de langage, que K est hensélien pour v. Alors, pour toute extension algébrique L de K et toute valuation v' sur L prolongeant v, l’anneau A' de v' est hensélien (chap. III, § 4, exerc. 4).

b) Si K est complet pour v et v de hauteur 1, A est hensélien. Donner un exemple où K est complet pour v et v est de hauteur 2, mais A n’est pas hensélien (cf. exerc. 1).

c) Si K est linéairement compact pour v, montrer que K est hensélien. (Avec les notations de la condition (H) du chap. III, § 4, exerc. 3, on désigne par \mathfrak{L} l’ensemble des idéaux premiers de A, ordonné (totalement) par inclusion, \mathfrak{L} l’ensemble des couples (\mathscr{B}, \varphi), où \mathscr{B} est une partie bien ordonnée (pour la relation \supset) de \mathfrak{L} et \varphi : \mathfrak{p} \to (Q_\mathfrak{p}, Q'_\mathfrak{p}) une application de \mathscr{B} dans l’ensemble A[X] \times A[X], ayant les propriétés suivantes : 1° Q_\mathfrak{p} et Q'_\mathfrak{p} sont unitaires et de degrés respectifs deg(Q) et deg(Q'); 2° si \mathfrak{p} \supset \mathfrak{q} sont deux éléments de \mathscr{B}, les coefficients des polynômes Q_\mathfrak{p} - Q_\mathfrak{q} et Q'_\mathfrak{p} - Q'_\mathfrak{q} appartiennent à \mathfrak{p}; 3° les coefficients de P - Q_\mathfrak{p}Q'_\mathfrak{p} appartiennent à \mathfrak{p}; 4° \overline{f}(Q_\mathfrak{p}) = \overline{Q}, \overline{f}(Q'_\mathfrak{p}) = \overline{Q}'. On définit sur \mathfrak{L} une relation d’ordre en posant (\mathscr{B}, \varphi) \leq (\mathscr{B}', \varphi') lorsque \mathscr{B} \subset \mathscr{B}' et que \varphi' est un prolongement de \varphi à \mathscr{B}'. Prouver que \mathfrak{L} admet un élément maximal (\mathscr{B}_0, v_0) et que \mathscr{B}_0 a un dernier élément égal à (0): on raisonnera par l’absurde en considérant deux cas, suivant que \mathscr{B}_0 a ou n’a pas de dernier élément; dans le premier cas, si \mathfrak{p} est ce dernier élément, considérer un élément c \in A tel que v(c) soit la plus petite valeur prise par v dans l’ensemble des coefficients de P - Q_\mathfrak{p}Q'_\mathfrak{p}, et le plus petit idéal premier \mathfrak{p}' de A contenant c; lorsque \mathfrak{p}' = \mathfrak{p}, utiliser l’exerc. 2 a) du § 4 et le fait qu’un quotient d’un module linéairement compact par un sous-module fermé est linéairement compact, donc complet. Si au contraire \mathscr{B}_0 n’a pas de dernier élément, utiliser directement l’hypothèse que A est linéairement compact).

d) Avec les notations de l’exerc. 5, montrer que pour que A soit hensélien, il faut et il suffit que $A'$ et $A''$ le soient. (Noter que si $P \in A'[X]$, il existe $a \in A$ tel que $a^n P(X/a) \in A[X]$ (où $n$ est le degré de P); pour vérifier l’axiome (H) du chap. III, § 4, exerc. 3 pour $A'$, on peut donc se borner aux polynômes de $A[X]$; utiliser le fait que $A' = A_p$, où $p$ est un idéal premier de A contenu dans l’idéal maximal $m$, et noter que si deux polynômes de $(A/p)[X]$ sont fortement étrangers, il en est de même de leurs images dans $(A/m)[X]$).

e) Supposons que A soit hensélien; alors, pour toute extension algébrique L de K, il n’existe (à une équivalence près) qu’une seule valuation sur L prolongeant $v$. (Si $P \in A[X]$ est un polynôme irréductible unitaire, $x_i (1 \leq i \leq m)$ les racines distinctes de P dans son corps des racines N, montrer que pour toute valuation $v'$ sur N prolongeant $v$, les $v'(x_i)$ sont tous égaux pour $1 \leq i \leq m$. Réciproquement, si l’anneau de valuation A possède cette propriété, il est hensélien (observer que, dans la fermeture intégrale $A'$ de A dans L, il ne peut exister qu’un seul idéal maximal au-dessus de $m$ (chap. V, § 1, exerc. 13), et en conclure que si $P \in A[X]$ est un polynôme irréductible unitaire, son image dans $(A/m)[X]$ ne peut être produit de deux polynômes étrangers.)