Bài tập 8, § 8

Cho $K'$ là một trường, $B$ là vành của một định giá $v$ trên $K'$, $G$ là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của $K'$, $K$ là trường con của $K'$ gồm các phần tử bất biến dưới $G$ và $A = K \cap B$, là một vành định giá của $K$, tương ứng với định giá $w = v|K$.

(a) Các định giá trên $K'$ mở rộng $w$ là các $v \circ \sigma$, với $\sigma \in G$ (no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 6) và bao đóng nguyên $A$ của $A$ trong $K'$ là giao của các $\sigma . B$, trong đó $\sigma$ chạy qua $G$. Nếu $p(B)$ là giao của $A'$ và iđêan cực đại $m(B)$, thì $\sigma . p(B) = p(\sigma . B)$. Chứng minh rằng nhóm phân tích $G^Z(p(B))$ (Chương V, § 2, no. 2) là nhóm con của $G$ gồm các $\sigma$ sao cho $\sigma . B = B$; viết $G^Z = G^Z(p(B))$ và ký hiệu $K^Z$ là trường con của $K'$ gồm các phần tử bất biến dưới $G^Z$ và $B^Z$ là vành của định giá cảm sinh trên $K^Z$ bởi $v$, bằng $B \cap K^Z$; nhắc lại rằng các trường thặng dư của $B^Z$ và $A$ là như nhau và rằng iđêan cực đại $m(B^Z)$ được sinh bởi $m(A)B^Z$ (Chương V, § 2, no. 2, Mệnh đề 4).

(b) Cho $v^Z$ ký hiệu hạn chế của $v$ trên $K^Z$ và $\Gamma$ và $\Gamma^Z$ là các nhóm cấp của $w$ và $v^Z$. Hãy chỉ ra rằng $\Gamma = \Gamma^Z$. (Cho $G^D \supset G^Z$ là nhóm con của $G$ gồm các $\sigma \in G$ sao cho $\sigma . B$ phụ thuộc vào $B$ (§ 7, no. 2). Lập luận bằng quy nạp theo cấp của $G$. Nếu $(G/G^D) > 1$, cho $K''$ là trường bất biến của $G^D$ và $A'' = K'' \cap B$; hãy chỉ ra rằng nhóm cấp của $v|K''$ bằng $\Gamma$: về việc này, dùng Định lý xấp xỉ (§ 7, no. 2, Định lý 1) để chứng minh rằng, với mọi x \in K", tồn tại y \in K" sao cho v(y) = v(x) và v(y_i) = 0 đối với các liên hợp y, của y đối với K, phân biệt với y; khi đó $\mathscr{G}$ có thể được thay bởi $\mathscr{G}^D$ và giả thiết quy nạp có thể được áp dụng. Nếu $\mathscr{G}^D = \mathscr{G}$, cho B, là vành định giá của K' sinh bởi các $\sigma . B$, trong đó $\sigma \in \mathscr{G}$; cho $\overline{K}' = \kappa(B_0)$ là trường thặng dư của nó, $x : B, \to \overline{K}'$ là đồng cấu chính tắc, $\overline{B} = \pi(B)$ là một vành định giá của $\overline{K}'$ và $\bar{v}$ là định giá tương ứng trên $\overline{K}'$ sao cho $v = \bar{v} \circ \pi$ trong B, do đó nhóm cấp $\overline{\Delta}$ của $\bar{v}$ là một nhóm con của nhóm cấp A của v; nếu $A_1 = \Delta / \overline{\Delta}$ và $\overline{\omega} : A \to A_1$, là đồng cấu chính tắc, $v_0 = \overline{\omega} \circ v$ là một định giá trên K' tương ứng với B_0 và bất biến dưới $\mathscr{G}$. Bằng cách lấy thương, $\mathscr{G}$ xác định một nhóm các tự đẳng cấu $\overline{\mathscr{G}}$ của $\overline{K}'$; cho $\mathscr{N}$ là hạt nhân của đồng cấu chính tắc $\mathscr{G} \to \overline{\mathscr{G}}$; hãy chỉ ra rằng $\mathscr{N} \subset \mathscr{G}^z$ và suy ra rằng, nếu $\mathscr{N} \neq \{ e \}$, $\mathscr{G}$ có thể được thay bởi $\mathscr{G}/\mathscr{N}$ và giả thiết quy nạp có thể được áp dụng. Cuối cùng giả sử rằng $\mathscr{N} = \{ e \}$; cho $A_1 = K \cap B$, và $w_0$ là hạn chế của $v_0$ trên K; hãy chỉ ra rằng nhóm cấp của $w_0$ là A, và rằng $\pi(A_0) = \overline{K}$ là trường bất biến của $\overline{\mathscr{G}}$ (cf. no. 1, Bổ đề 2); nếu $\bar{w}$ là hạn chế trên $\overline{K}$ của $\bar{v}$ và $\overline{\Gamma}$ là nhóm cấp của nó, A, là đẳng cấu chính tắc với $\Gamma/\overline{\Gamma}$. Mặt khác, nhóm $\mathscr{G}^z(p(\overline{B}))$ là ảnh chính tắc của $\mathscr{G}^z(p(B))$ trong $\overline{\mathscr{G}}$; nhận xét rằng $\mathscr{G}^D \neq \overline{\mathscr{G}}$ và do đó giả thiết quy nạp có thể được áp dụng để chứng minh rằng $\overline{\Gamma}$ bằng nhóm cấp $\overline{\Gamma}^z$ của hạn chế của $\bar{v}$ trên $\overline{K}^z$.

(c) Gọi $\mathscr{G}^T = \mathscr{G}^T(p(B))$ là nhóm quán tính của $p(B)$ (Chương V, § 2, no. 2) và gọi $K^T$ là trường con của K' gồm các bất biến của $\mathscr{G}^T$ và $B^T$ là vành của định giá cảm sinh trên $K^T$ bởi $u$, bằng $B \cap K^T$; nhắc lại rằng, nếu k và k' là các trường thặng dư của A và B, thì trường thặng dư $k^T$ của $B^T$ là mở rộng tách được lớn nhất của k được chứa trong mở rộng quasi-Galois $k'$ của k và rằng $\mathscr{G}^z/\mathscr{G}^T$ là đẳng cấu chính tắc với nhóm các tự đẳng cấu k của $k'$ (hoặc $k^T$) (Chương V, § 2, Định lý 2 và Mệnh đề 5). Gọi $v^T$ là hạn chế của $v$ trên $K^T$; hãy chứng minh rằng nhóm cấp của $v^T$ cũng bằng $\Gamma$ (áp dụng Bổ đề 2 của no. 1 cho mở rộng $K^T$ của $K^z$).