Exercice 8, § 8

Soient $K'$ un corps, B l’anneau d’une valuation $v$ sur $K'$, $G$ un groupe fini d’automorphismes de $K'$, K le sous-corps de $K'$ formé des éléments invariants par $G$, et posons $A = K \cap B$, qui est un anneau de valuation pour K, correspondant à la valuation $w = v|K$.

a) Les valuations sur $K'$ qui prolongent $w$ sont les $v \circ \sigma$, où $\sigma \in G$ (no 6, cor. 1 de la prop. 6) et la fermeture intégrale $A'$ de A dans $K'$ est l’intersection des $\sigma.B$, où $\sigma$ parcourt $G$. Si $p(B)$ est l’intersection de $A'$ et de l’idéal maximal $m(B)$, on a $\sigma.p(B) = p(\sigma.B)$. Montrer que le groupe de décomposition $G^Z(p(B))$ (chap. V, § 2, no 2) est le sous-groupe de $G$ formé des $\sigma$ tels que $\sigma.B = B$; on posera $G^Z = G^Z(p(B))$, on désignera par $K^Z$ le sous-corps de $K'$ formé des éléments invariants par $G^Z$, par $B^Z$ l’anneau de la valuation induite sur $K^Z$ par $v$, égal à $B \cap K^Z$; on rappelle que les corps résiduels de $B^Z$ et de A sont les mêmes et que l’idéal maximal $m(B^Z)$ est engendré par $m(A)B^Z$ (chap. V, § 2, no 2, prop. 4).

b) On désigne par $v^Z$ la restriction de $v$ à $K^Z$, par $\Gamma$ et $\Gamma^Z$ les groupes des ordres de $w$ et de $v^Z$. Montrer que l’on a $\Gamma = \Gamma^Z$. (Soit $G^D \supset G^Z$ le sous-groupe de $G$ formé des $\sigma \in G$ tels que $\sigma.B$ soit dépendant de B ($§ 7$, no 2). Raisonner par récurrence sur l’ordre de $G$. Si $(G : G^D) > 1$, soient $K''$ le corps des invariants de $G^D$, $A'' = K'' \cap B$; montrer que le groupe des ordres de $v|K''$ est égal à $\Gamma$: pour cela, utiliser le th. d’approximation ( , n° 2, th. 1) afin de prouver que pour tout $x \in K''$, il existe $y \in K''$ tel que $v(y) = v(x)$ et $v(y_i) = 0$ pour les conjugués $y_i$ de $y$ par rapport à $K$, distincts de $y$; on peut alors remplacer $\mathscr{G}$ par $\mathscr{G}^D$ et appliquer l’hypothèse de récurrence. Si $\mathscr{G}^D = \mathscr{G}$, soit $B_0$ l’anneau de valuation pour $K'$ engendré par les $\sigma.B$ pour $\sigma \in \mathscr{G}$; soient $\overline{K'} = \kappa(B_0)$ son corps résiduel, $\pi : B_0 \to \overline{K'}$ l’homomorphisme canonique, $\overline{B} = \pi(B)$, anneau de valuation pour $\overline{K'}$, $\overline{v}$ la valuation correspondante sur $\overline{K'}$ telle que $v = \overline{v} \circ \pi$ dans $B_0$, de sorte que le groupe des ordres $\Delta$ de $\overline{v}$ est un sous-groupe du groupe $\Delta$ des ordres de $v$; si $\Delta_0 = \Delta / \overline{\Delta}$ et si $\varpi : \Delta \to \Delta_0$ est l’homomorphisme canonique, $v_0 = \varpi \circ v$ est une valuation sur $K'$ correspondant à $B_0$, invariante par $\mathscr{G}$. Par passage aux quotients, $\mathscr{G}$ définit un groupe d’automorphismes $\overline{\mathscr{G}}$ de $\overline{K'}$; soit $\mathscr{N}$ le noyau de l’homomorphisme canonique $\mathscr{G} \to \overline{\mathscr{G}}$; montrer que $\mathscr{N} \subset \mathscr{G}^Z$ et en déduire que lorsque $\mathscr{N} \neq \{ e \}$, on peut remplacer $\mathscr{G}$ par $\mathscr{G}/\mathscr{N}$ et appliquer l’hypothèse de récurrence. Supposons enfin que $\mathscr{N} = \{ e \}$; soient $A_0 = K \cap B_0$, $w_0$ la restriction de $v_0$ à $K$; montrer que le groupe des ordres de $w_0$ est $\Delta_0$ et que $\pi(A_0) = \overline{K}$ est le corps des invariants de $\overline{\mathscr{G}}$ (cf. n° 1, lemme 2); si $\overline{w}$ est la restriction à $\overline{K}$ de $\overline{v}$ et $\overline{\Gamma}$ son groupe des ordres, $\Delta_0$ est donc canoniquement isomorphe à $\Gamma/\overline{\Gamma}$. D’autre part, le groupe $\mathscr{G}^Z(\mathfrak{p}(\overline{B}))$ est l’image canonique de $\mathscr{G}^Z(\mathfrak{p}(B))$ dans $\overline{\mathscr{G}}$; observer que l’on a $\mathscr{G}^D \neq \overline{\mathscr{G}}$ et que l’on peut par suite appliquer l’hypothèse de récurrence pour prouver que $\overline{\Gamma}$ est égal au groupe des ordres $\overline{\Gamma}^Z$ de la restriction de $\overline{v}$ à $\overline{K^Z}$

c) Soit $\mathscr{G}^T = \mathscr{G}^T(\mathfrak{p}(B))$ le groupe d’inertie de $\mathfrak{p}(B)$ (chap. V, § 2, n° 2), et désignons par $K^T$ le sous-corps de $K'$ formé des invariants de $\mathscr{G}^T$, par $B^T$ l’anneau de la valuation induite sur $K^T$ par $v$, égal à $B \cap K^T$; on rappelle que si $k$ et $k'$ sont les corps résiduels de $A$ et $B$, le corps résiduel $k^T$ de $B^T$ est la plus grande extension séparable de $k$ contenue dans l’extension quasi-galoisienne $k'$ de $k$, et que $\mathscr{G}^Z/\mathscr{G}^T$ est canoniquement isomorphe au groupe des $k$-automorphismes de $k'$ (ou de $k^T$) (chap. V, § 2, th. 2 et prop. 5). Soient $v^T$ la restriction de $v$ à $K^T$; montrer que le groupe des ordres de $v^T$ est encore égal à $\Gamma$ (appliquer le lemme 2 du n° 1 à l’extension $K^T$ de $K^Z$).