Bài tập 12, § 1

(a) Cho $A$ là một miền nguyên đóng nguyên, $f(X) = \sum_i a_i X^i$ và $g(X) = \sum_j b_j X^j$ là hai đa thức trong $A[X]$; hãy chứng minh rằng, nếu $c \in A$ là phần tử sao cho tất cả các hệ số của $f(X)g(X)$ đều thuộc $Ac$, thì mọi tích $a_i b_j$ đều thuộc $Ac$ (hãy rút gọn về trường hợp $A$ là một vành định giá).

(b) Nếu $A$ là vành được định nghĩa trong Bài tập 1, hãy cho một ví dụ về hai đa thức $f, g$ bậc 1 trong $A[X]$ và một phần tử $c \in A$ mà với chúng kết luận của (a) không đúng (lấy $c = T^4 + T^5$).

(c) Với các giả thiết của (a), gọi $a, b, c$ là các iđêan của $A$ lần lượt sinh bởi các hệ số của $f$, $g$ và $fg$: hãy chứng minh rằng $\operatorname{div}(c) = \operatorname{div}(a) + \operatorname{div}(b)$. Hãy cho một ví dụ trong đó $\tilde{c} \neq \tilde{a} \tilde{b}$. Hãy chứng minh rằng, nếu $c$ là chính, thì $c = ab$ và $a$ và $b$ là khả nghịch; nếu thêm nữa $A$ là một vành địa phương, thì $a$ và $b$ là chính.