Exercice 12, § 1

a) Soient A un anneau intégralement clos, $f(X) = \sum_i a_i X^i$ et g(X) = \sum_j b_j X^j deux polynômes de $A[X]$; montrer que si $c \in A$ est tel que tous les coefficients de $f(X)g(X)$ appartiennent à $Ac$, alors tous les produits $a_i b_j$ appartiennent à $Ac$ (se ramener au cas où $A$ est un anneau de valuation).

b) Si $A$ est l’anneau défini dans l’exerc. 1, donner un exemple de deux polynômes $f, g$ de degré 1 dans $A[X]$ et d’un élément $c \in A$ pour lequel la conclusion de a) est en défaut (prendre $c = T^4 + T^5$).

c) Les hypothèses étant celles de a), soient $a, b, c$ les idéaux de $A$ engendrés respectivement par les coefficients de $f, g$ et $fg$; montrer que l’on a $\operatorname{div}(c) = \operatorname{div}(a) + \operatorname{div}(b)$. Donner un exemple où $\tilde{c} \neq \tilde{a}\tilde{b}$. Montrer que si $c$ est principal, on a $c = ab$, et $a$ et $b$ sont inversibles; si en outre $A$ est un anneau local, $a$ et $b$ sont principaux.