Bài tập 23, § 1

(a) Cho $A$ là một miền giả-Bézout (Bài tập 21) và $K$ là trường các phân thức của nó; đối với mọi đa thức $f \in A[X]$, một ước chung lớn nhất của các hệ số của f (được xác định sai khác bởi một phần tử khả nghịch của $A$) được gọi là nội dung của f. Cho $f, g$ là hai đa thức của $A[X]$; hãy chứng minh rằng để $f$ chia hết cho $g$ trong $A[X]$, điều kiện cần và đủ là $f$ chia hết cho $g$ trong $K[X]$ và một nội dung của f chia hết cho một nội dung của $g$ (sử dụng Bài tập 12) (xem Bài tập 30 (c)).

(b) Suy ra từ (a) rằng, nếu $A$ là một miền giả-Bézout (tương ứng giả-chính), thì $A[X]$ cũng vậy. Hơn nữa, nếu (a,) là một họ hữu hạn (tương ứng bất kỳ) các phần tử $\neq 0$ của $A$ và d là một ước chung lớn nhất của họ này trong $A$, thì d cũng là một ước chung lớn nhất của họ này trong $A[X]$.

(c) Suy ra từ (b) rằng, nếu $A$ là giả-Bézout (tương ứng giả-chính) thì $A[X_\lambda]_{\lambda \in L}$ là giả-Bézout (tương ứng giả-chính) đối với mọi họ $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$ các bất định.