Exercice 23, § 1

a) Soient $A$ un anneau pseudo-bezoutien (exerc. 21), $K$ son corps des fractions; pour tout polynôme $f \in A[X]$, on appelle contenu de $f$ un p.g.c.d. des coefficients de $f$ (déterminé à un élément inversible de $A$ près). Soient $f, g$ deux polynômes de $A[X]$; montrer que pour que $f$ divise $g$ dans $A[X]$, il faut et il suffit que $f$ divise $g$ dans $K[X]$ et qu’un contenu de $f$ divise un contenu de $g$ (utiliser l’exerc. 12) (cf. exerc. 30 c)).

b) Déduire de a) que, si $A$ est un anneau pseudo-bezoutien (resp. pseudo-principal), alors il en est de même de $A[X]$. En outre, si $(a_i)$ est une famille finie (resp. quelconque) d’éléments $\neq 0$ de $A$ et $d$ un p.g.c.d. de cette famille dans $A$, $d$ est aussi un p.g.c.d. de cette famille dans $A[X]$.

c) Déduire de b) que, si $A$ est pseudo-bezoutien (resp. pseudo-principal), alors $A[X_\lambda]_{\lambda \in L}$ est pseudo-bezoutien (resp. pseudo-principal) pour toute famille $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$ d’indéterminées.