Bài tập 30, § 1

Một miền nguyên được gọi là đóng nguyên chính quy nếu, trong môđun D(A), mọi ước sinh hữu hạn (Bài tập 11) đều là một phần tử chính quy. Mọi miền đóng nguyên hoàn toàn đều là đóng nguyên chính quy; mọi miền giả-Bezout (Bài tập 2I) đều là đóng nguyên chính quy. (a) Nếu A là đóng nguyên chính quy và $d, d', d''$ là ba ước sinh hữu hạn, quan hệ $d + d'' \leq d' + d''$ suy ra $d \leq d'$. (b) Suy ra từ (a) rằng, để một miền nguyên A là đóng nguyên chính quy, điều kiện cần và đủ là, với mọi iđêan phân thức a của A sao cho div(a) là một ước sinh hữu hạn, $a: a = A$; đặc biệt A là đóng nguyên (Bài tập6 (b)). (Dùng sự kiện rằng A: (bc) = (A: b) : c đối với hai iđêan phân thức b, c của A, lấy $b = a, c = A: a$.) Hơn nữa, div(a) khi đó là khả nghịch trong D(A).

(c) Cho $A$ là một miền đóng nguyên chính quy và $K$ là trường các phân thức của nó; môđun $D_f(A)$ các ước sinh hữu hạn của $A$ sinh ra trong $D(A)$ một nhóm có thứ tự dàn $G_f(A)$. Với mỗi đa thức $p \in K[X]$, ký hiệu $d(p)$ là ước của iđêan phân thức của A sinh bởi các hệ số của p; với mỗi hàm hữu tỉ $r = p/q$ của $K(X)$, trong đó $p, q$ thuộc $K[X]$ và $q \neq 0$, $d(p) - d(q)$ được xác định tốt trên $G_f(A)$ (không phụ thuộc vào biểu diễn của $r$ như thương của hai đa thức); nó được ký hiệu là $d(r)$ (xem Bài tập 12 (c)). Nếu khi đó ta viết $\gamma(r) = ((r), d(r))$, trong đó $(r)$ là iđêan phân thức chính của $K[X]$ sinh bởi r, thì $y$ là một đẳng cấu của nhóm có thứ tự $\mathscr{P}^*(A[X])$ (ký hiệu của § 3, no. 2) lên một nhóm con của nhóm tích có thứ tự

Suy ra rằng $A[X]$ là một miền đóng nguyên chính quy và rằng $D_f(A[X])$ đẳng cấu với $\mathscr{P}^*(K[X]) \times D_f(A)$ (dùng (a) và (b) và Bài tập 29 (b)).

(d) Cho $B$ là một miền đóng nguyên, $K$ là trường các phân thức của nó và A là vành con của vành đa thức $K[X, Y]$ gồm các đa thức mà số hạng hằng của chúng thuộc về B. Chứng minh rằng, nếu $B \neq K$, A là đóng nguyên nhưng không đóng nguyên chính quy (chứng minh rằng ước $\inf(\operatorname{div}(X), \operatorname{div}(Y))$ tương ứng với một iđêan chia được a sao cho $a : a \neq A$).