Exercice 30, § 1

On dit qu’un anneau intègre A est régulièrement intégralement clos si, dans le monoïde D(A), tout diviseur de type fini (exerc. 11) est un élément régulier. Tout anneau complètement intégralement clos est régulièrement intégralement clos; tout anneau pseudo-bezoutien (exerc. 21) est régulièrement intégralement clos.

a) Si A est régulièrement intégralement clos et si d, d', d'' sont trois diviseurs de type fini, la relation d + d'' \leqslant d' + d'' entraîne d \leqslant d'.

b) Déduire de a) que, pour qu’un anneau intègre $A$ soit régulièrement intégralement clos, il faut et il suffit que pour tout idéal fractionnaire $a$ de $A$ tel que $\operatorname{div}(a)$ soit un diviseur de type fini, on ait $a : a = A$; en particulier, $A$ est intégralement clos (exerc. 6 $b$). (Utiliser le fait que $A : (bc) = (A : b) : c$ pour deux idéaux fractionnaires $b, c$ de $A$, en prenant $b = a, c = A : a$. En outre, $\operatorname{div}(a)$ est alors inversible dans $D(A)$.

c) Soient $A$ un anneau régulièrement intégralement clos, $K$ son corps des fractions; le monoïde $D_f(A)$ des diviseurs de type fini de $A$ engendre dans $D(A)$ un groupe réticulé $G_f(A)$. Pour tout polynôme $p \in K[X]$, on désigne par $d(p)$ le diviseur de l’idéal fractionnaire de $A$ engendré par les coefficients de $p$; pour toute fraction rationnelle $r = p/q$ de $K(X)$, où $p, q$ sont dans $K[X]$ et $q \neq 0$, $d(p) - d(q)$ est bien défini dans $G_f(A)$ (indépendamment de l’expression de $r$ comme quotient de deux polynômes); on le note $d(r)$ (cf. exerc. 12 $c$). Si on pose alors $\gamma(r) = ((r), d(r))$, où $(r)$ est l’idéal principal fractionnaire de $K[X]$ engendré par $r$, $\gamma$ est un isomorphisme du groupe ordonné $\mathscr{P}^*(A[X])$ (notation du § 3, n° 2) sur un sous-groupe du groupe ordonné produit

En déduire que $A[X]$ est un anneau régulièrement intégralement clos et que $D_f(A[X])$ est isomorphe à $\mathscr{P}^*(K[X]) \times D_f(A)$ (utiliser $a$ et $b$) et l’exerc. 29 $b$).

d) Soient $B$ un anneau intégralement clos, $K$ son corps des fractions, $A$ le sous-anneau de l’anneau de polynômes $K[X, Y]$ formé des polynômes dont le terme constant appartient à $B$. Montrer que, si $B \neq K$, $A$ est intégralement clos, mais n’est pas régulièrement intégralement clos (montrer que le diviseur $\inf(\operatorname{div}(X), \operatorname{div}(Y))$ correspond à un idéal divisoriel $a$ tel que $a : a \neq A$).