Bài tập 31, § 1

(a) Cho $A$ là một miền đóng nguyên chính quy (Bài tập 30) và $K$ là trường các phân thức của nó; với mọi đa thức $P \in K[X]$, gọi $c(P)$ là ước $\operatorname{div}(a)$, trong đó $a$ là iđêan phân thức của $K$ sinh bởi các hệ số của $P$. Gọi $B$ là vành con của $K(X)$ gồm các hàm hữu tỉ $P/Q$ sao cho $c(P) \geq c(Q)$ (chứng minh rằng điều kiện này chỉ phụ thuộc vào phần tử $P/Q$, sử dụng Bài tập 30 (a) và 12 (c)). Khi đó $B \cap K = A$.

(b) Chứng minh rằng $B$ là một miền Bezout (Bài tập 20) (nhận xét rằng, nếu $P, Q$ là hai đa thức của $A[X]$, thì $P + X^n Q$ chia $P$ và $Q$ trong $B$ nếu $m$ đủ lớn).

(c) Chứng minh rằng, nếu $A$ là một miền Krull, thì $B$ là một miền iđêan chính (xét một dãy tăng các iđêan phân thức chính sinh hữu hạn của $B$). Cho một ví dụ trong đó $A$ đóng nguyên hoàn toàn nhưng $B$ không phải là một miền iđêan chính (xem Bài tập 22).

(d) Suy ra từ (c) một ví dụ về một miền Noether $B$ sao cho tồn tại một trường con $K$ của trường các phân thức của nó mà $B \cap K$ không là Noether.