Exercice 31, § 1

a) Soient $A$ un anneau régulièrement intégralement clos (exerc. 30), $K$ son corps des fractions; pour tout polynôme $P \in K[X]$, on désigne par $c(P)$ le diviseur $\operatorname{div}(a)$, où $a$ est l’idéal fractionnaire de $K$ engendré par les coefficients de $P$. On désigne par $B$ le sous-anneau de $K(X)$ formé des fractions rationnelles $P/Q$ telles que $c(P) \geq c(Q)$ (on montrera que cette condition ne dépend bien que de l’élément $P/Q$, en utilisant l’exerc. 30 $a$) et l’exerc. 12 $c$). On a $B \cap K = A$.

b) Montrer que $B$ est un anneau bezoutien (exerc. 20) (observer que si $P, Q$ sont deux polynômes de $A[X]$, $P + X^m Q$ divise $P$ et $Q$ dans $B$ lorsque $m$ est assez grand).

c) Montrer que si $A$ est un anneau de Krull, l’anneau $B$ est principal (considérer une suite croissante d’idéaux principaux fractionnaires de type fini dans $B$). Donner un exemple où $A$ est complètement intégralement clos, mais où $B$ n’est pas principal (cf. exerc. 22).

d) Déduire de $c$ un exemple d’anneau intègre noethérien $B$ pour lequel il existe un sous-corps $K$ de son corps des fractions tel que $B \cap K$ ne soit pas noethérien.