Bài tập 11, § 2

Cho $K$ là một trường và $(v_i)_{i \in I}$ là một họ các định giá rời rạc trên $K$ thỏa mãn các điều kiện (AK_I) và (AK_{III}) của § 1, no. 3 và sao cho, với mọi số nguyên $r$, mọi họ $(n_h)_{1 \leq h \leq r}$ các số nguyên $\geq 0$, mọi họ $(t_h)_{1 \leq h \leq r}$ các phần tử phân biệt của $I$ và mọi họ $(a_h)_{1 \leq h \leq r}$ các phần tử của $K$, tồn tại $x \in K$ sao cho $v_{t_h}(x - a_h) \geq n_h$ với $1 \leq h \leq r$ và $v_i(x) = 0$ đối với $i$ phân biệt với các $t_h$. Chứng minh rằng giao $A$ của các vành định giá của các $v_i$, là một miền Dedekind có trường phân thức là $K$ và rằng $(v_i)_{i \in I}$ là họ các định giá cốt yếu của $A$. (Sử dụng Bài tập 7 của § 1; sau đó chứng minh rằng hai iđêan nguyên tố phân biệt có chiều cao 1 là nguyên tố cùng nhau và suy ra rằng mọi iđêan nguyên tố $\neq 0$ của $A$ là cực đại.)