Exercice 11, § 2

Soient $K$ un corps, $(v_i)_{i \in I}$ une famille de valuations discrètes sur $K$ vérifiant les conditions (AK₁) et (AK₃) du § 1, n° 3 et telle que, pour tout entier $r$, toute famille $(n_h)_{1 \leq h \leq r}$ d’entiers $\geq 0$, toute famille $(\iota_h)_{1 \leq h \leq r}$ d’éléments distincts de $I$ et toute famille $(a_h)_{1 \leq h \leq r}$ d’éléments de $K$, il existe $x \in K$ tel que $v_{\iota_h}(x - a_h) \geq n_h$ pour $1 \leq h \leq r$ et $v_i(x) = 0$ pour $i$ distinct des $\iota_h$. Montrer que l’intersection $A$ des anneaux de valuation des $v_i$ est un anneau de Dedekind, dont $K$ est le corps des fractions, et que $(v_i)_{i \in I}$ est la famille des valuations essentielles de $A$. (Utiliser l’exerc. 7 du § 1 ; prouver ensuite que deux idéaux premiers distincts de hauteur 1 sont étrangers, et en déduire que tout idéal premier $\neq 0$ de $A$ est maximal).