Bài tập 3, § 2

Cho $A$ là một miền Dedekind, $K$ là trường phân thức của nó, $P$ là tập hợp các iđêan nguyên tố $\neq 0$ của $A$ và với mọi $\varrho \in P$ cho $v_\varrho$ là định giá cốt yếu tương ứng trên $K$. Với mọi môđun con-A $M$ của $K$ và mọi $\varrho \in P$ ta viết $v_\varrho(M) = \inf v_\varrho(x)$ (được lấy trong $\overline{\mathbf{R}}$); nếu $M \neq 0$, $v_\varrho(M) < +\infty$ với mọi $\varrho \in P$ và $v_\varrho(M) \leq 0$ với hầu hết mọi $\varrho \in P$. Nếu $M, N$ là hai môđun con-A của $K$, hãy chứng minh rằng quan hệ $M \subset N$ là tương đương với $v_\varrho(N) \leq v_\varrho(M)$ với mọi $\varrho \in P$ (sử dụng Mệnh đề 9 của § 1, no. 5). Ngược lại, với mọi họ $(v_\varrho)_{\varrho \in P}$ gồm các phần tử bằng một số nguyên hoặc $-\infty$ và sao cho $v_\varrho \leq 0$ với hầu hết mọi $\varrho \in P$, tồn tại duy nhất một môđun con-A $M$ của $K$ sao cho $v_\varrho(M) = v_\varrho$ với mọi $\varrho \in P$.