Exercice 3, § 2

Soient $A$ un anneau de Dedekind, $K$ son corps des fractions, $P$ l’ensemble des idéaux premiers $\neq 0$ de $A$, et pour tout $p \in P$, soit $v_p$ la valuation essentielle correspondante de $K$. Pour tout sous-A-module $M$ de $K$, et tout $p \in P$, on pose $v_p(M) = \inf_{x \in M} v_p(x)$ (prise dans $\bar{R}$); si $M \neq 0$, on a $v_p(M) < +\infty$ pour tout $p \in P$, et $v_p(M) \leq 0$ pour presque tout $p \in P$. Si $M, N$ sont deux sous-A-modules de $K$, montrer que la relation $M \subset N$ équivaut à $v_p(N) \leq v_p(M)$ pour tout $p \in P$ (utiliser la prop. 9 du § 1, n° 5). Inversement, pour toute famille $(v_p)_{p \in P}$ d’éléments égaux à un entier ou à $-\infty$, et telle que $v_p \leq 0$ pour presque tout $p \in P$, il existe un sous-A-module unique $M$ de $K$ tel que $v_p(M) = v_p$ pour tout $p \in P$.